Câu hỏi:
27/06/2022 215Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất \[1 + \left[ {2{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x - 2} \right]{.2^{1 + mx - {x^2}}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{mx\left( {1 - m} \right)}} + {x^2} - {m^2}x\].
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Phương trình mũ và một số phương pháp giải !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[1 + \left[ {2{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x - 2} \right]{.2^{1 + mx - {x^2}}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{mx\left( {1 - m} \right)}} + {x^2} - {m^2}x\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - {m^2}x - 1} \right) + \left( {{x^2} - mx - 1} \right)} \right]{.2^{ - \left( {{x^2} - mx - 1} \right)}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{\left( {{x^2} - {m^2}x - 1} \right) - \left( {{x^2} - mx - 1} \right)}} + {x^2} - {m^2}x - 1\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2} - {m^2}x - 1}\\{v = {x^2} - mx - 1}\end{array}} \right.\) Phương trình trở thành:
\[\left( {u + v} \right){.2^{ - v}} = v{.2^{u - v}} + u \Leftrightarrow u\left( {{2^{ - v}} - 1} \right) = v{2^{ - v}}\left( {{2^u} - 1} \right)\left( * \right)\]
+) Dễ dàng kiểm tra u=0 hoặc v=0 là nghiệm của (*)
+) Với \[u,v \ne 0,\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{{2^{ - v}} - 1}}{{v{2^{ - v}}}} = \frac{{{2^u} - 1}}{u}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{2^u} - 1}}{u} = \frac{{1 - {2^v}}}{v}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} = 0\]
Xét hàm\[f\left( t \right) = \frac{{{2^t} - 1}}{t}\] trên\[\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\] ta thấy:
+) Với t>0 thì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^t} - 1 > 0}\\{t > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{{2^t} - 1}}{t} > 0 \Rightarrow f\left( t \right) > 0\)
+) Với t<0 thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^t} - 1 < 0}\\{t < 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{{2^t} - 1}}{t} > 0 \Rightarrow f\left( t \right) > 0\)</0 thì>
Do đó \[f\left( t \right) > 0\] với mọi \[t \ne 0\]
\[ \Rightarrow f\left( u \right) > 0,f\left( v \right) > 0,\forall u,v \ne 0\]
\[ \Rightarrow f\left( u \right) + f\left( v \right) > 0,\forall u,v \ne 0\]
\[ \Rightarrow \frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} > 0,\forall u,v \ne 0\]
Do đó phương trình\[\frac{{{2^u} - 1}}{u} + \frac{{{2^v} - 1}}{v} = 0\] vô nghiệm.
Vậy \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = 0}\\{v = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - {m^2}x - 1 = 0(1)}\\{{x^2} - mx - 1 = 0(2)}\end{array}} \right.\)
Hai phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt, tổng hai nghiệm ở mỗi phương trình là:
\[{S_1} = {m^2},\,{S_2} = m \Rightarrow S = {m^2} + m \ge - \frac{1}{4}\]
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho nhỏ nhất là \[ - \frac{1}{4}\] khi \[m = - \frac{1}{2}\]Đáp án cần chọn là: C
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại \[x \in (\frac{1}{3};3)\;\] thỏa mãn \[27{\,^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{9x}}\]?
Xem đáp án »
27/06/2022
986
Câu 4:
Phương trình \[{2^{23{x^3}}}{.2^x} - {1024^{{x^2}}} + 23{x^3} = 10{x^2} - x\] có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây:
Xem đáp án »
27/06/2022
554
Câu 5:
Phương trình \[x({2^{x - 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2}\]có tổng các nghiệm bằng
Xem đáp án »
27/06/2022
437
Câu 6:
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \[{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4\]là:
Xem đáp án »
27/06/2022
431
Câu 7:
Cho \[{4^x} + {4^{ - x}} = 7\]. Khi đó biểu thức \[P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}} = \frac{a}{b}\] với \[\frac{a}{b}\] tối giản và \[a,b \in \mathbb{Z}\]. Tích a.b có giá trị bằng
Xem đáp án »
27/06/2022
372
về câu hỏi!