Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn \[{5^x} + {25^y} + {125^z} = 2020\]. Giá trị nhỏ nhất của biếu thức \[T = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2}\] là
A.\[\frac{1}{3}{\log _5}2020.\]
B. \[\frac{1}{6}{\log _5}2018.\]
C. \[\frac{1}{6}{\log _5}2020.\]
D. \[\frac{1}{2}{\log _5}2018.\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {5^x}}\\{b = {5^{2y}}}\\{c = {5^{3z}}}\end{array}} \right.\) với\[x,\,\,y,\,\,z \ge 0\] thì\[a,\,\,b,\,\,c \ge 1\]
Theo bài ra ta có\[a + b + c = 2020 \Rightarrow 1 \le a,b,c \le 2018\]
Ta có:
\[(a - 1)(b - 1)(c - 1) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow (ab - a - b + 1)(c - 1) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow abc + (a + b + c) - (ab + bc + ca) - 1 \ge 0(1)\]
\[(a - 2018)(b - 2018)(c - 2018) \le 0\]
\[ \Leftrightarrow (ab - 2018(a + b) + 20182)(c - 2018) \le 0\]
\[ \Leftrightarrow abc + {2018^2}(a + b + c) - 2018(ab + bc + ca) - {2018^3} \le 0(2)\]
Lấy (1) nhân với 2018 rồi trừ đi (2) ta được:
\[2017abc + (2018 - {2018^2})(a + b + c) - 2018 + {2018^3} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow 2017abc + 2018(1 - 2018)(a + b + c) + {2018^3} - 2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow 2017abc - 2017.2018.(a + b + c) + {2018^3} - 2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2017.2018.2020 + {2018^3} - 2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} + 2018({2018^2} - 2017.2020 - 1) \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2017.2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2018 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} \ge 2018\]
\[ \Leftrightarrow {5^{x + 2y + 3z}} \ge 2018\]
\[ \Leftrightarrow x + 2y + 3z \ge lo{g_5}2018\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{x + 2y + 3z}}{6} \ge \frac{1}{6}lo{g_5}2018\]
\[ \Leftrightarrow \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} \ge \frac{1}{6}lo{g_5}2018\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu tức \[T = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2}\] là\[\frac{1}{6}{\log _5}2018\]
Đáp án cần chọn là: B
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
\[{3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81 = {3^4} \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\]
Tổng các nghiệm sẽ bằng 0.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 2
A.\[\frac{{ - 8}}{5}\]
B. 3
C. \[\frac{8}{5}\]
D. \[\frac{{12}}{5}\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án cần chọn là: A
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\[\left\{ { - 1;2} \right\}.\]
B. \[\left\{ {0;1} \right\}.\]
C. \[\left\{ { - 1;0} \right\}.\]
D. \[\left\{ { - 2;1} \right\}.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.0,50
B.0,35
C.0,40
D.0,45
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập