Câu hỏi:
13/07/2024 166Cho các số dương x,y thỏa mãn \[{2^{{x^3} - y + 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{7}{y} + \frac{{{x^3}}}{7}\] có dạng \(\frac{a}{b}\). Tính a−b.
Câu hỏi trong đề:
Phương trình mũ và một số phương pháp giải !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Bước 1: Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn \[{x^3}\] theo y.
Ta có\[{2^{{x^3} - y + 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2 - 2x - y - 1}} = \frac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}}\\{ \Leftrightarrow \frac{{{2^{{x^3} + 2x + 2}}}}{{{2^{2x + y}}.2}} = \frac{{2x + y}}{{2\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)}}}\\{ \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2}}\left( {{x^3} + 2x + 2} \right) = {2^{2x + y}}.\left( {2x + y} \right)\,\,\,\left( * \right)}\end{array}\]
Xét \[f\left( t \right) = {2^t}.t,\,\,t > 0\]ta có\[f'\left( t \right) = {2^t} + t{.2^t}.\ln 2 > 0;\,\,\forall t > 0\].Do đó hàm số f(t) đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]Do đó \[\left( * \right) \Leftrightarrow {x^3} + 2x + 2 = 2x + y \Rightarrow {x^3} = y - 2\]Bước 2: Thế vào biểu thức P, sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức P.
Khi đó
\[P = \frac{7}{y} + \frac{{{x^3}}}{7} = \frac{7}{y} + \frac{{y - 2}}{7} = \frac{7}{y} + \frac{y}{7} - \frac{2}{7} \ge 2\sqrt {\frac{7}{y}.\frac{y}{7}} - \frac{2}{7} = \frac{{12}}{7}\]
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \frac{7}{y} = \frac{y}{7} \Leftrightarrow y = 7\,\,\left( {do\,\,y > 0} \right)\]
\[{P_{\min }} = \frac{{12}}{7} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{5},\,\,y = 7\]
Vậy\[a = 12,b = 7 = > a - b = 5\]
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại \[x \in (\frac{1}{3};3)\;\] thỏa mãn \[27{\,^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{9x}}\]?
Xem đáp án »
27/06/2022
987
Câu 4:
Phương trình \[{2^{23{x^3}}}{.2^x} - {1024^{{x^2}}} + 23{x^3} = 10{x^2} - x\] có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây:
Xem đáp án »
27/06/2022
554
Câu 5:
Phương trình \[x({2^{x - 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2}\]có tổng các nghiệm bằng
Xem đáp án »
27/06/2022
438
Câu 6:
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \[{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4\]là:
Xem đáp án »
27/06/2022
431
Câu 7:
Cho \[{4^x} + {4^{ - x}} = 7\]. Khi đó biểu thức \[P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}} = \frac{a}{b}\] với \[\frac{a}{b}\] tối giản và \[a,b \in \mathbb{Z}\]. Tích a.b có giá trị bằng
Xem đáp án »
27/06/2022
372
về câu hỏi!