Câu hỏi:

27/06/2022 424

Số nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} = 2y}\\{{2^y} = 2x}\end{array}} \right.\)là:

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Trừ phương trình 1 cho 2 vế với vế ta được:

\[{2^x} - {2^y} = 2y - 2x \Leftrightarrow {2^x} + 2x = {2^y} + 2y\]

Xét hàm\[f\left( t \right) = {2^t} + 2t\]có\[f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 2 > 0,\forall t \in R\]nên hàm số f(t) đồng biến trên R.

Do đó \[f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y\]

Thay y=x vào phương trình\[{2^x} = 2y\]ta được\[{2^x} = 2x \Leftrightarrow {2^x} - 2x = 0\]

Xét hàm\[y = g\left( x \right) = {2^x} - 2x\]có \[g'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - 2 = 0 \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{2}{{\ln 2}}\]

Suy ra\[g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > {\log _2}\frac{2}{{\ln 2}};g'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x < {\log _2}\frac{2}{{\ln 2}}\]

\[ \Rightarrow x = {\log _2}\frac{2}{{\ln 2}}\]là điểm cực tiểu của hàm số

\[ \Rightarrow {y_{CT}} = {2^{{{\log }_2}\frac{2}{{\ln 2}}}} - 2{\log _2}\frac{2}{{\ln 2}} = \frac{2}{{\ln 2}} - 2{\log _2}\frac{2}{{\ln 2}} < 0\]

Mặt khác\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g(x) = + \infty \]suy ra đường thẳng y=0 cắt đồ thị hàm số y=g(x) tại 2 điểm phân biệt.

Vậy số nghiệm của hệ là 2

Số nghiệm của hệ 2^x = 2^y và 2^y = 2^x  là: (ảnh 1)

Đáp án cần chọn là: A

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Điều kiện\[x > 0;y > 0\]

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{logx - logy = 2}\\{x - 10y = 900}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{log\frac{x}{y} = 2}\\{x - 10y = 900}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{y} = 100}\\{x - 10y = 900}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 100y}\\{x - 10y = 900}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 100y}\\{100y - 10y = 900}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1000}\\{y = 10}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy \[A = x - 2y = 1000 - 2.10 = 980\]

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải

Điều kiện:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \ne 1;0 < x + 1 \ne 1}\\{y > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \ne 1}\\{y > 0}\end{array}} \right.\)</></>

Khi đó hệ

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {x^2}}\\{y + 23 = {{(x + 1)}^3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {x^2}}\\{{x^2} + 23 = {{(x + 1)}^3}}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {x^2}}\\{(x - 2)({x^2} + 4x + 11) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 = {x_0}}\\{y = 4 = {y_0}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Do đó \[{x_0} < {y_0}\]

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP