Gọi m là giá trị thực thỏa mãn hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{|x|}} - {2^y} = y - |x|\left( {m + 1} \right)}\\{{x^2} + y = {m^2}}\end{array}} \right.\) có nghiệm duy nhất, khi đó giá trị của m thỏa mãn:

Ta thấy: nếu \[\left( {{x_0};{y_0}} \right)\]là nghiệm của hệ thì\[\left( { - {x_0};{y_0}} \right)\]cũng là nghiệm của hệ, do đó\[\left( {0;{y_0}} \right)\]cũng là nghiệm của hệ.

Với x=0 thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - {2^y} = y}\\{y = {m^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {m^2}}\\{{2^y} + y = 1}\end{array}} \right.\)

Xét hàm \[f\left( t \right) = {2^t} + t\]có\[f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t \in R\]nên phương trình\[{2^y} + y = 1\]có nghiệm duy nhất\[y = 0 \Rightarrow {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = 0\]

Với m=0 thì hệ trở thành\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{|x|}} - {2^y} = y - |x|}\\{{x^2} + y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{|x|}} + |x| = {2^y} + y}\\{{x^2} + y = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|x| = y}\\{{y^2} + y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\\{x = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)

Do đó hệ có nghiệm duy nhất\[\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)\]nếu m=0.

Đáp án cần chọn là: A