Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f′(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình \[f(x) < {e^x} + m\;\] đúng với mọi \[x \in \left( { - 1;1} \right)\] khi và chỉ khi:

Theo đề bài ta có : \[f\left( x \right) < {e^x} + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - {e^x} < m\]

Đặt\[g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^x}.\]  Khi đó :

\[\begin{array}{l}f(x) < {e^x} + m\forall x \in ( - 1;1)\\ \Rightarrow g(x) = f(x) - {e^x} < m\forall x \in ( - 1;1)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{[ - 1;1]} g(x)\\g\prime (x) = f\prime (x) - {e^x}\end{array}\]

 Trên (−1;1) ta có \[f'\left( x \right) < 0;\,\,{e^x} > 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\]

⇒g(x) nghịch biến trên (−1;1).

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - {e^{ - 1}} = f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}}\\{ \Rightarrow m \ge f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}.}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: C