Cho hai hàm số \[f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \frac{5}{2}\left( {m,n,p \in \mathbb{R}} \right)\]và\(g\left( x \right) = {x^2} + 3x - 1\) có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1;1( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f(x)và g(x) bằng

Đồ thị hàm số\[f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \frac{5}{2}\]đi qua các điểm có tọa độ\[\left( {1;2} \right);\left( { - 1; - 2} \right);\left( { - 3;2} \right)\]nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + n + p - \frac{5}{2} = 2}\\{ - m + n - p - \frac{5}{2} = - 2}\\{ - 27m + 9n - 3p - \frac{5}{2} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{1}{2}}\\{n = \frac{5}{2}}\\{p = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} + \frac{5}{2}{x^2} + \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}.\]

Xét phương trình haonfh độ giao điểm\[f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\]

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình\[f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\]có 3 nghiệm là\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = - 3}\\{{x_2} = - 1}\\{{x_3} = 1}\end{array}} \right.\)

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số\[f\left( x \right);g\left( x \right)\]bằng

\[S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {[f(x) - g(x)]dx + \int\limits_{ - 1}^1 {[g(x) - f(x)]dx} } \]

\( = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {\frac{1}{2}{x^3} + \frac{5}{2}{x^2} + \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} - {x^2} - 2x + 1} \right)dx + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^2} + 2x - 1 - \frac{1}{2}{x^3} - \frac{5}{2}{x^2} - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}} \right)} } dx\)

\( = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {\frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}} \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - \frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}} \right)} dx\)

\( = 2 + 2 = 4\)

Đáp án cần chọn là: C