Câu hỏi:
29/06/2022 165Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \[|z| = 1\;\]và \[\mid {z^3} + 2024z + \overline z \mid - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\]
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có :
\[\mid {z^3} + 2024z + \overline z \mid - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \mid \frac{{\mid {z^3} + 2024z + \overline z \mid }}{{|z|}} - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\\ \Leftrightarrow \mid {z^2} + 2024 + \frac{{\overline z }}{z}\mid - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + {z^{ - 2}}} \right| - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + \overline z } \right)}^2} - 2z\overline z + 2021} \right| - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{{(z + \overline z )}^2} + 2022\mid } \right| - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\end{array}\]
Đặt\[z = a + bi \Rightarrow \bar z = a - bi \Rightarrow z + \bar z = 2a\]
Khi đó phương trình cuối trở thành
\[\left| {{{\left( {2a} \right)}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 .\left| {2a} \right| = 2019 \Leftrightarrow 4{a^2} - 4\sqrt 3 \left| a \right| + 3 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {2\left| a \right| - \sqrt 3 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left| a \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow a = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
Mà
\[\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow {b^2} = 1 - {a^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow b = \pm \frac{1}{2}\]
Vậy có bốn số phức thỏa mãn bài toán là
\[{z_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i,\,\,{z_2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i,\,\,{z_3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i,\,\,{z_4} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i.\]
Đáp án cần chọn là: B
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hai số phức \[{z_1},\,\,{z_2}\] thỏa mãn \[{z_1}\overline {.{z_1}} = 4,\left| {{z_2}} \right| = 3\]. Giá trị biểu thức \[P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\;\] bằng:
Xem đáp án »
29/06/2022
1,567
Câu 4:
Tìm các số thực x,y thỏa mãn đẳng thức \[3x + y + 5xi = 2y - (x - y)i.\]
Xem đáp án »
29/06/2022
415
về câu hỏi!