Cho số phức z  có tích phần thực và phần ảo bằng 625. Gọi a là phần thực của số phức \[\frac{z}{{3 + 4i}}\]. Giá trị nhỏ nhất của |a| bằng:

Đặt\[z = x + yi\]  Theo giả thiết ta có\[xy = 625.\]

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{z}{{3 + 4i}} = \frac{{x + yi}}{{3 + 4i}} = \frac{{\left( {x + yi} \right)\left( {3 - 4i} \right)}}{{25}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{3x + 4y + \left( { - 4x + 3y} \right)i}}{{25}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{3x + 4y}}{{25}} + \frac{{ - 4x + 3y}}{{25}}i}\end{array}\]

Số phức\[\frac{z}{{3 + 4i}}\] có phần thực là\[a = \frac{{3x + 4y}}{{25}} \Rightarrow \left| a \right| = \frac{{\left| {3x + 4y} \right|}}{{25}}\]

Ta có:\[xy = 625 \Leftrightarrow y = \frac{{625}}{x} \Rightarrow \left| a \right| = \frac{{\left| {3x + 4.\frac{{625}}{x}} \right|}}{{25}}\]

Vì\[3x,\,\,\frac{{625}}{x}\] cùng dấu nên\[\left| {3x + 4.\frac{{625}}{x}} \right| \ge 2\sqrt {3x.4.\frac{{625}}{x}} = 100\sqrt 3 \]

Vậy\[\left| a \right| \ge 4\sqrt 3 \] Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow 3x = 4.\frac{{625}}{x} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{50}}{{\sqrt 3 }}\]