Câu hỏi:
29/06/2022 144Cho các số phức z và w thỏa mãn \[\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i\]. Tìm GTLN của \[T = |w + i|\]
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Dễ dàng kiểm tra z=0 không thỏa mãn\[\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i\]
Ta có: \[\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i \Leftrightarrow \frac{z}{{w - 1}} = \left( {3 - i} \right)\left| z \right| + i - 1\]
\[ \Leftrightarrow \frac{z}{{w - 1}} = \left( {3\left| z \right| - 1} \right) + \left( {1 - \left| z \right|} \right)i\]
\[ \Rightarrow \left| {\frac{z}{{w - 1}}} \right| = \sqrt {10{{\left| z \right|}^2} - 8\left| z \right| + 2} \Rightarrow \left| {w - 1} \right| = \sqrt {\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{{10{{\left| z \right|}^2} - 8\left| z \right| + 2}}} \]
Nhận xét: \[T = \left| {w + i} \right| \le \left| {w - 1} \right| + \left| {1 + i} \right| = \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{{{{\left| z \right|}^2}}} - \frac{8}{{\left| z \right|}} + 10} }} + \sqrt 2 \]
\[ = \frac{1}{{\sqrt {2{{\left( {\frac{1}{{\left| z \right|}} - 2} \right)}^2} + 2} }} + \sqrt 2 \le \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khỉ
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|z| = \frac{1}{2}}\\{w - 1 = k(1 + i)}\\{(3 - i)|z| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i}\end{array}} \right.(k > 0)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|z| = \frac{1}{2}}\\{w - 1 = k(1 + i)}\\{(3 - i)\frac{1}{2} = \frac{z}{{k(1 + i)}} + 1 - i}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|z| = \frac{1}{2}}\\{w - 1 = k(1 + i)}\\{z = \frac{{1 + i}}{2}.\frac{{2k}}{{1 - i}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|z| = \frac{1}{2}}\\{w - 1 = k(1 + i)}\\{|z| = k(dok > 0)}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|z| = \frac{1}{2} = k}\\{w - 1 = \frac{1}{2}(1 + i)}\\{z = \frac{{1 + i}}{2}.\frac{{2k}}{{1 - i}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{i}{2}}\\{w = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i}\end{array}} \right.\)
Vậy,\[\max T = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\]
Đáp án cần chọn là: B
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hai số phức \[{z_1},\,\,{z_2}\] thỏa mãn \[{z_1}\overline {.{z_1}} = 4,\left| {{z_2}} \right| = 3\]. Giá trị biểu thức \[P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\;\] bằng:
Xem đáp án »
29/06/2022
1,599
Câu 4:
Tìm các số thực x,y thỏa mãn đẳng thức \[3x + y + 5xi = 2y - (x - y)i.\]
Xem đáp án »
29/06/2022
437
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 5)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 4)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)
về câu hỏi!