Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện \[\left| {z - i} \right| = 5\] và \[{z^2}\] là số thuần ảo?

Đặt\[z = a + bi\]

Ta có:\[\left| {z - i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi - i} \right| = 5\]

\[ \Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = 5 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 25\]

\[{z^2} = {(a + bi)^2} = {a^2} + 2{\rm{a}}bi - {b^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\]

Do\[{z^2}\] là số thuần ảo nên:\[{a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow (a - b)(a + b) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = a}\\{b = - a}\end{array}} \right.\]

TH1: b=a thay vào (1) ta được:

\[{a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} - 2a + 1 = 25 \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a - 24 = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 4 \Rightarrow b = 4}\\{a = - 3 \Rightarrow b = - 3}\end{array}} \right.\)

TH2: b=-a thay vào (1) ta được:

\[{a^2} + {\left( { - a - 1} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} + 2a + 1 = 25 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2a - 24 = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3 \Rightarrow b = - 3}\\{a = - 4 \Rightarrow b = 4}\end{array}} \right.\)

Vậy có 4 số phức cần tìm là:\[4 + 4i, - 3 - 3i,3 - 3i, - 4 + 4i\]

Đáp án cần chọn là: C