Câu hỏi:

29/06/2022 1,750

Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng \(a\sqrt 2 \). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là:

A.\[2\sqrt 6 {a^3}\]

B. \[8{a^3}\]

C. \[\frac{{2\sqrt 6 }}{3}{a^3}\]

D. \[\frac{{7{a^3}}}{{12}}\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Thể tích của khối chóp !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng (ảnh 1)

Gọi \[O = AC \cap BD\]

Tam giác SAC cân tại S, SO là trung tuyến\[ \Rightarrow SO \bot AC\]

Tam giác SBD cân tại S, SO là trung tuyến \[ \Rightarrow SO \bot BD\]

\[ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\]

Vì \[SA = SB = SC = SDSO \bot \left( {ABCD} \right)\] nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD.

Hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên ABCD phải là hình chữ nhật.

Theo bài ra ta giả sử AD=a và đặt\[AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\]

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC có:

\[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \]

\[ \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {x^2}} \]

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOA có:

\[SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {2{a^2} - \frac{{{a^2} + {x^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {7{a^2} - {x^2}} \]

Khi đó ta có

\[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\sqrt {7{a^2} - {x^2}} .ax = \frac{a}{6}x\sqrt {7{a^2} - {x^2}} \]

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:\[x\sqrt {7{a^2} - {x^2}} \le \frac{{{x^2} + 7{a^2} - {x^2}}}{2} = \frac{{7{a^2}}}{2}\]

\[ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} \le \frac{a}{6}.\frac{{7{a^2}}}{2} = \frac{{7{a^3}}}{{12}}\]

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow {x^2} = 7{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\]

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất bằng\[\frac{{7{a^3}}}{{12}} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\]

Đáp án cần chọn là: D

Bình luận

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy nằm trong hình vuông ABCD. Biết rằng SA và SC tạo với đáy các góc bằng nhau, góc giữa SB và đáy bằng 45⁰, góc giữa SD và đáy bằng α với \[tan\alpha = \frac{1}{3}\]. Tính thể tích khối chóp đã cho.

A.\[\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\]

B. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\]

C. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\]

D. \[\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\]

Xem đáp án » 29/06/2022 2,899

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng SC tạo với đáy góc 45⁰. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Thể tích của khối chóp S.MCDN là:

A.\[\frac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\]

B. \[\frac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{6}\]

C. \[\frac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{8}\]

D. \[\frac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\]

Xem đáp án » 29/06/2022 2,384

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng \[\frac{7}{{25}}\] lần phần còn lại. Tính tỉ số \[\frac{{IA}}{{IS}}\]?

A.\[\frac{5}{3}\]

B. \[\frac{2}{3}\]

C. \[\frac{3}{2}\]

D. \[\frac{3}{5}\]

Xem đáp án » 29/06/2022 2,339

Câu 4:

Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

A.\[\frac{{{a^3}}}{6}\]

B. \[\frac{{{a^3}}}{3}\]

C. \[\frac{{{a^3}}}{4}\]

D. \[\frac{{{a^3}}}{8}\]

Xem đáp án » 29/06/2022 2,288

Câu 5:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 4a³, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng a². Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB).

A.12a

B.6a

C.3a

D.4a

Xem đáp án » 29/06/2022 2,172

Câu 6:

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA1. Thể tích khối chóp M.BCA1 là:

A.\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\]

B. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\]

C. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\]

D. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\]

Xem đáp án » 29/06/2022 2,071

Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng \(a\sqrt 2 \). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là:

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1)

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)

Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1)

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)

Bình luận

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng SC tạo với đáy góc 45⁰. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Thể tích của khối chóp S.MCDN là:

Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 4a³, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng a². Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB).

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA1. Thể tích khối chóp M.BCA1 là:

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng \(a\sqrt 2 \). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là:

Bình luận

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng SC tạo với đáy góc 450. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Thể tích của khối chóp S.MCDN là:

Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 4a3, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng a2. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB).

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA1. Thể tích khối chóp M.BCA1 là:

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng SC tạo với đáy góc 45⁰. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Thể tích của khối chóp S.MCDN là:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 4a³, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng a². Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB).