Câu hỏi:
30/06/2022 194Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + \left( {{m^2} - 2m} \right)t}\\{y = 5 - \left( {m - 4} \right)t}\\{z = 7 - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)
và điểm A(1;2;3). Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ A đến đường thẳng Δ có giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của S là
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm\[M\left( {2;5;7 - 2\sqrt 2 } \right)\] và nhận\[\vec u = \left( {{m^2} - 2m;4 - m;0} \right)\] làm VTCP.
Có\[\overrightarrow {AM} = \left( {1;3;4 - 2\sqrt 2 } \right) \Rightarrow AM = \sqrt {34 - 16\sqrt 2 } \]
Để\[d\left( {A,{\rm{\Delta }}} \right) = A{H_{\min }}\] thì\[\sin \alpha = \frac{{AH}}{{AM}}\] đạt GTNN hay cosα đạt GTLN.
Mà
\[\cos \alpha = \cos \left( {AM,{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AM} .\vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right|}}{{\sqrt {34 - 16\sqrt 2 } .\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} }}\]
Mà
\[\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right| \le \sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} \]
\[ \Rightarrow \frac{{\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right|}}{{\sqrt {34 - 16\sqrt 2 } .\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} }} \le \frac{{\sqrt {10} }}{{\sqrt {34 - 16\sqrt 2 } }}\]
\[ \Rightarrow \cos \alpha \] đạt GTLN nếu
\[\frac{{{m^2} - 2m}}{1} = \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m = 4 - m \Leftrightarrow 3{m^2} - 5m - 4 = 0\]
Phương trình này có hai nghiệm phân biệt do ac<0 nên tổng các giá trị của m là \(\frac{5}{3}\) .
Đáp án cần chọn là: B
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
H là trực tâm của\[\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\\{\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0}\end{array}} \right.\]
Ta giả sử\[H\left( {x,y,z} \right)\] ta có
\[\overrightarrow {BC} = (0, - 3, - 4)\]
\[\overrightarrow {AC} = ( - 2,0, - 4)\]
\[\overrightarrow {AH} = (x - 2,y,z)\]
\[\overrightarrow {BH} = (x,y - 3,z)\]
\[\overrightarrow {AB} = ( - 2,3,0)\]
Điều kiện\[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0\]
Điều kiện\[\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0\]
Ta tính\[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 12, - 8,6)\]
Điều kiện
\[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH} = 0 \Leftrightarrow - 12(x - 2) - 8y + 6z = 0 \Leftrightarrow - 6x - 4y + 3z + 12 = 0\]
Suy ra\[H(\frac{{72}}{{61}},\frac{{48}}{{61}},\frac{{ - 36}}{{61}})\]
Suy ra\[\overrightarrow {OH} = (\frac{{72}}{{61}},\frac{{48}}{{61}},\frac{{ - 36}}{{61}})\] là vecto chỉ phương của OH.
Chọn\[\vec u = (6,4, - 3)\] là vecto chỉ phương của OH và OH qua O(0,0,0) nên phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6t}\\{y = 4t}\\{z = - 3t}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C
Lời giải
Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình ta được:
\[\frac{{0 + 1}}{2} = \frac{{1 - 2}}{{ - 2}} \ne \frac{2}{1}\] nên A sai.
\[\frac{{1 + 1}}{2} = \frac{{0 - 2}}{{ - 2}} = \frac{1}{1}\]nên B đúng.
Thay tọa độ các điểm đáp án C,D vào đường thẳng ta thấy đều không thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: B
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo