Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,  cho tam giác ABC  có phương trình đường phân giác trong góc A  là d1:x+y+2=0,  phương trình đường cao vẽ từ B  là d2:2x−y+1=0,   cạnh AB  đi qua M(1;−1).  Tìm phương trình cạnh AC.

\[I\left( {6;2} \right);M\left( {1;5} \right)\]

\[{\rm{\Delta }}:x + y - 5 = 0,E \in {\rm{\Delta }} \Rightarrow E\left( {m;5 - m} \right);\]

Gọi N là trung điểm của AB

I  trung điểm  NE \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} = 2{x_I} - {x_E} = 12 - m}\\{{y_N} = 2{y_I} - {y_E} = 4 - 5 + m = m - 1}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow N\left( {12 - m;m - 1} \right)\]

\[\overrightarrow {MN} = \left( {11 - m;m - 6} \right);\]

\[\overrightarrow {IE} = \left( {m - 6;5 - m - 2} \right) = \left( {m - 6;3 - m} \right)\]

\[\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {IE} = 0 \Leftrightarrow \left( {11 - m} \right)\left( {m - 6} \right) + \left( {m - 6} \right)\left( {3 - m} \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 6 = 0}\\{14 - 2m = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 6}\\{m = 7}\end{array}} \right.\)

\[m = 6 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {5;0} \right)\]nên phương trình AB là y = 5

\[m = 7 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {4;1} \right)\] nên phương trình AB là \[x - 4y + 19 = 0\]Đáp án cần chọn là: A

+ Cạnh AB đi qua hai điểm A,B nên phương trình cạnh AB:\[x - 2y - 2 = 0\]+ Cạnh AC đi qua hai điểm A,C nên phương trình cạnh \[AC:2x + y - 4 = 0\]+ Phương trình hai đường phân giác của góc A:

\(\frac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt 5 }} = \pm \frac{{2x + y - 4}}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 2 = 0(d)}\\{3x - y - 6 = 0(d\prime )}\end{array}} \right.\)

+ Xét đường phân giác \[\left( d \right):x + 3y - 2 = 0\]

Thế tọa độ điểm B  vào vế trái của\[d:{t_1} = 4 + 3.1 - 2 = 5 >0\]

Thế tạo độ điểm C  vào vế trái của d: \[{t_2} = 1 + 3.2 - 2 = 5 >0\]

Vì\[{t_1}.{t_2} >0\] nên B  và C  nằm cùng phía đối với d⇒d là đường phân giác ngoài

Vậy đường phân giác trong của góc A  là: \[d':3x - y - 6 = 0\]

Đáp án cần chọn là: A