Gọi S là tập các số tự nhiên gồm 9 chữ số được lập từ tập \[X = \left\{ {6;7;8} \right\},\;\] trong đó chữ số 6 xuất hiện 2 lần, chữ số 7 xuất hiện 3 lần, chữ số 8 xuất hiện 4 lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S; tính xác suất để số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6.

+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 6 vào 9 vị trí là\[C_9^2\]

+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 7 vào 7 vị trí còn lại là\[C_7^3\]

+ Số cách sắp xếp 4 chữ số 8 vào 4 vị trí còn lại là\[C_4^4\]

Số phần tử của tập S là \[n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_9^2.C_7^3.C_4^4 = 1260\]

Gọi A là biến cố “Số được chọn ra từ tập S là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”

TH1: Ta xét 2 chữ số 6 thành 1 cặp, ta sẽ sắp xếp cặp này với các chữ số còn lại

Số cách sắp xếp là\[C_8^1.C_7^3.C_4^4 = 280\] cách

TH2: Ta xếp chữ số 8 đứng giữa hai chứ số 6.

Cách 1: Có 1 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 686 là 1 cụm thì có 7 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \[C_6^3\] cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \[C_3^3\] cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \[7.C_6^3.C_3^3 = 140\] số

Cách 2:  Có 2 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 6886 là 1 cụm thì có 6 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \[C_5^2\] cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \[C_3^3\] cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \[6.C_5^2.C_3^3 = 60\] số

Cách 3: Có 3 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 68886 là 1 cụm thì có 5 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \[C_4^1\] cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \[C_3^3\] cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \[5.C_4^1.C_3^3 = 20\] số

Cách 4: Có 4 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 688886 là 1 cụm thì có 4 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có \[C_3^3\] cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có \[4C_3^3 = 4\] số

Vậy biến cố A có \[280 + 140 + 60 + 20 + 4 = 504\] phần tử

Xác suất cần tìm là\[P\left( A \right) = \frac{{504}}{{1260}} = \frac{2}{5}\]

Đáp án cần chọn là: A