Câu hỏi:
27/06/2022 96Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} + 2x = 3 + y}\\{{2^y} + 2y = 3 + x}\end{array}} \right.\). Gọi \[\left( {{x_0};{y_0}} \right)\;\]là nghiệm của hệ, chọn mệnh đề đúng:
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Trừ vế với vế của phương trình đầu cho phương trình hai ta được:
\[{2^x} - {2^y} + 2x - 2y = y - x \Leftrightarrow {2^x} + 3x = {2^y} + 3y\]
Xét hàm số\[f\left( t \right) = {2^t} + 3t\]có \[f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 3 > 0,\forall t \in R\]nên hàm số đồng biến trên RR.
Do đó \[f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y \Rightarrow {2^x} + 2x = 3 + y \Leftrightarrow {2^x} + x = 3\]
Xét hàm\[g\left( x \right) = {2^x} + x\]có \[g'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + 1 > 0,\forall x \in R\]nên hàm số\[y = g\left( x \right)\]đồng biến trên R.
Dễ thấy\[g\left( 1 \right) = 3\] nên x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình hay (1;1) là nghiệm duy nhất của hệ.
Vậy \[{x_0} = {y_0} = 1 > 0\]
Đáp án cần chọn là: A
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Gọi (x;y) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{logx - logy = 2}\\{x - 10y = 900}\end{array}} \right.\), khi đó giá trị biểu thức \[A = x - 2y\;\] là:
Câu 2:
Gọi \[\left( {{x_0};{y_0}} \right)\]là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_x}y = 2}\\{lo{g_{x + 1}}\left( {y + 23} \right) = 3}\end{array}} \right.\). Mệnh đề nào đúng?
Câu 3:
Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x}{{.9}^y} = 162}\\{{3^x}{{.4}^y} = 48}\end{array}} \right.\)có tất cả bao nhiêu nghiệm (x;y)?
Câu 4:
Điều kiện xác định của hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{lo{g_2}({x^2} - 1) + lo{g_2}(y - 1) = 1}\\{{3^x} = {3^y}}\end{array}} \right.\] là:
Câu 5:
Gọi m là giá trị thực thỏa mãn hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{|x|}} - {2^y} = y - |x|\left( {m + 1} \right)}\\{{x^2} + y = {m^2}}\end{array}} \right.\) có nghiệm duy nhất, khi đó giá trị của m thỏa mãn:
Câu 6:
Số nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y = - 1}\\{{4^{x + {y^2}}} = 16}\end{array}} \right.\) là:
Câu 7:
Số nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} = 2y}\\{{2^y} = 2x}\end{array}} \right.\)là:
về câu hỏi!