Câu hỏi:
13/07/2024 999Xét các số thực không âm a,b thỏa mãn \[2a + b \le lo{g_2}\left( {2a + b} \right) + 1\]. Giá trị nhỏ nhất của \[{a^2} + {b^2}\;\] bằng bao nhiêu?
Câu hỏi trong đề:
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Bất phương trình logarit !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Bước 1: Đặt\[t = 2a + b\;\left( {t \ge 0} \right)\] đưa bất phương trình về dạng\[f\left( t \right) \ge 0\]
Đặt\[t = 2a + b\;\left( {t \ge 0} \right)\] ta có giả thiết đã cho tương đương với\[f\left( t \right) = {\log _2}t - t + 1 \ge 0\]
Ta có\[f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} - 1 > 0 \Leftrightarrow t < \frac{1}{{\ln 2}}\] Hàm số đồng biến trên\[\left( {0;\frac{1}{{\ln 2}}} \right)\]
Bước 2: Chứng minh\[t \ge 1\]
Ta chứng minh\[t \ge 1\]
Thật vậy, giả sử t<1 thì \[f\left( t \right) < f\left( 1 \right) = 0\] (mâu thuẫn)
Vậy \[2a + b \ge 1\]
Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2a + b} \right)}^2} \le \left( {{2^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}\\{ \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {2a + b} \right)}^2}}}{5} \ge \frac{1}{5}}\end{array}\]
Dấu bằng xảy ra\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b = 1}\\{\frac{a}{2} = \frac{b}{1}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{2}{5}}\\{b = \frac{1}{5}}\end{array}} \right.\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y sao cho tương ứng với mọi y luôn tồn tại không quá 63 số nguyên x thỏa mãn điều kiện \[{\log _{2020}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) \ge {\log _4}\left( {x - y} \right)\]
Xem đáp án »
13/07/2024
4,458
Câu 2:
Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty Bảo Việt với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng vào công ty là 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi là 6% / năm. Hỏi sau đúng 18 năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu tiền? Kết quả làm tròn đến hai chữ số phần thập phân.
Xem đáp án »
28/06/2022
1,817
Câu 3:
Xét bất phương trình \[\log _2^22x - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng \[\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right).\]
Xem đáp án »
28/06/2022
945
Câu 4:
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \[{\log _2}\left( {5x - 3} \right) > 5\] là:
Xem đáp án »
28/06/2022
913
Câu 5:
Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình
\[{\log _m}({2.1^2} + 1 + 3) \le {\log _m}({3.1^2} - 1) \Leftrightarrow {\log _m}6 \le {\log _m}2 \Leftrightarrow 0m < 1\]. Biết rằng x=1x=1 là một nghiệm của bất phương trình.
Xem đáp án »
28/06/2022
603
Câu 6:
Bất phương trình \[{\log _{\frac{4}{{25}}}}(x + 1) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\] tương đương với bất phương trình nào dưới đây?
Xem đáp án »
28/06/2022
585
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án (Đề 1)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 4)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Nghĩa của từ
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 13)
về câu hỏi!