Nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx\] là:
A.\[I = \frac{1}{2}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \frac{1}{4}\sin 2x + C\]
B. \[I = \frac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \frac{1}{2}\sin 2x + C\]
C. \[I = \frac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \frac{1}{4}\sin 2x + C\]
D. \[I = \frac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) + \frac{1}{4}\sin 2x + C\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) = \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}\\{ \Rightarrow I = \smallint \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx}\end{array}\]
Đặt\[t = \sin x + \cos x \Rightarrow dt = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\] khi đó ta có:\[I = \smallint t\ln tdt\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = lnt}\\{dv = tdt}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{1}{t}dt}\\{v = \frac{{{t^2}}}{2}}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow I = \frac{1}{2}{t^2}lnt - \frac{1}{2}\smallint tdt + C = \frac{1}{2}{t^2}lnt - \frac{{{t^2}}}{4} + {C_1}\]
\[ = \frac{1}{2}{(sinx + cosx)^2}ln(sinx + cosx) - \frac{{{{(sinx + cosx)}^2}}}{4} + {C_1}\]
\[ = \frac{1}{2}(si{n^2}x + co{s^2}x + sin2x)ln(sinx + cosx) - \frac{{1 + sin2x}}{4} + {C_1}\]
\[ = \frac{1}{4}(1 + sin2x)ln{(sinx + cosx)^2} - \frac{{sin2x}}{4} - \frac{1}{4} + {C_1}\]
\[ = \frac{1}{4}(1 + sin2x)ln(1 + sin2x) - \frac{{sin2x}}{4} + C.\]
Đáp án cần chọn là: C
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.\[\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4}\sin 2x - \frac{x}{2}\cos 2x} \right) + C\]
B. \[ - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 2x - \frac{x}{4}\cos 2x} \right) + C\]
C. \[\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{x}{2}\cos 2x} \right) + C\]
D. \[ - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{x}{4}\cos 2x} \right) + C\]
Lời giải
\[I = \smallint x\sin x\cos xdx = \frac{1}{2}\smallint x\sin 2xdx\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = sin2xdx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = - \frac{{cos2x}}{2}}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( { - x.\frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}\smallint \cos 2xdx} \right) + C\]
\[ = \frac{1}{2}\left( { - \frac{{x\cos 2x}}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4}} \right) + C\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 2
A.\[2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x - \cos \sqrt x } \right) + C\]
B. \[2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x } \right) + C\]
C. \[\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x + C\]
D. \[\sqrt x \sin \sqrt x - \cos \sqrt x + C\]
Lời giải
Đặt \[\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt \Rightarrow I = 2\smallint t\cos tdt.\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = t}\\{dv = costdt}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dt}\\{v = sint}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow I = 2\left( {t\sin t - \smallint sintdt + C} \right) = 2\left( {t\sin t + \cos t + C} \right)\]
\[ = 2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x } \right) + C.\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 3
A.\[I = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - 2F\left( x \right) + C\]
B. \[I = F\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)f\left( x \right)\]
C. \[I = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) + C\]
D. \[I = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - F\left( x \right) + C\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\[\smallint f(x)dx = {x^3}\ln 3x - \frac{{{x^3}}}{3} + C\]
B. \[\smallint f(x)dx = \frac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{9} + C\]
C. \[\smallint f(x)dx = \frac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{3} + C\]
D. \[\smallint f(x)dx = \frac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{{27}} + C\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\[\left( {x + 1} \right){e^x} + C\]
B. \[\left( {x + 1} \right){e^x} - x + C\]
C. \[\left( {x + 2} \right){e^x} - x + C\]
D. \[\left( {x + 1} \right){e^x} + x + C\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = g'\left( x \right)dx}\\{v = \smallint h(x)dx}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = g\left( x \right)dx}\\{v = \smallint h(x)dx}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \smallint g\left( x \right)dx}\\{v = h(x)dx}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = g'\left( x \right)dx}\\{v = h(x)dx}\end{array}} \right.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo