Câu hỏi:
28/06/2022 97Nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx\] là:
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) = \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)}\\{ \Rightarrow I = \smallint \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx}\end{array}\]
Đặt\[t = \sin x + \cos x \Rightarrow dt = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\] khi đó ta có:\[I = \smallint t\ln tdt\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = lnt}\\{dv = tdt}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{1}{t}dt}\\{v = \frac{{{t^2}}}{2}}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow I = \frac{1}{2}{t^2}lnt - \frac{1}{2}\smallint tdt + C = \frac{1}{2}{t^2}lnt - \frac{{{t^2}}}{4} + {C_1}\]
\[ = \frac{1}{2}{(sinx + cosx)^2}ln(sinx + cosx) - \frac{{{{(sinx + cosx)}^2}}}{4} + {C_1}\]
\[ = \frac{1}{2}(si{n^2}x + co{s^2}x + sin2x)ln(sinx + cosx) - \frac{{1 + sin2x}}{4} + {C_1}\]
\[ = \frac{1}{4}(1 + sin2x)ln{(sinx + cosx)^2} - \frac{{sin2x}}{4} - \frac{1}{4} + {C_1}\]
\[ = \frac{1}{4}(1 + sin2x)ln(1 + sin2x) - \frac{{sin2x}}{4} + C.\]
Đáp án cần chọn là: C
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 3:
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).
Xem đáp án »
28/06/2022
285
Câu 4:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:
Xem đáp án »
28/06/2022
277
Câu 5:
Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:
Xem đáp án »
28/06/2022
270
Câu 6:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]
Xem đáp án »
28/06/2022
266
Câu 7:
Biết \[F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\] là nguyên hàm của hàm số \[y = (2x + 3).{e^x}\]. Khi đó b−a là
Xem đáp án »
28/06/2022
258
về câu hỏi!