Câu hỏi:
28/06/2022 169Nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx\] là:
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[I = \smallint \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx = \smallint \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{\frac{{x{e^x} + 1}}{{{e^x}}}}}dx = \smallint \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^{2x}}}}{{x{e^x} + 1}}dx = \smallint \frac{{x{e^x}\left( {x + 1} \right){e^x}}}{{x{e^x} + 1}}dx.\]
Đặt
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x{e^x}}\\{dv = \frac{{(x + 1){e^x}}}{{x{e^x} + 1}}dx = \frac{{d(x{e^x} + 1)}}{{x{e^x} + 1}}}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = ({e^x} + x{e^x})dx = (x + 1){e^x}dx}\\{v = ln|x{e^x} + 1|}\end{array}} \right.\end{array}\)
Khi đó ta có: \[I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \smallint \ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx + C.\]
Đặt\[t = x{e^x} + 1 \Rightarrow dt = \left( {{e^x} + x{e^x}} \right)dx = \left( {x + 1} \right){e^x}dx\]
\[ \Rightarrow \smallint \ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx = \smallint \ln \left| t \right|dt\]
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = ln|t|}\\{dv = dt}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{1}{t}dt}\\{v = t}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow \smallint \ln \left| t \right|dt = \ln \left| t \right|.t - \smallint dt + C = \ln \left| t \right|.t - t + C\]
\[ = \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right) + C.\]
Vậy\[I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + \left( {x{e^x} + 1} \right) + C\]
\[ = x{e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C.\]
Đáp án cần chọn là: A
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 3:
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).
Xem đáp án »
28/06/2022
285
Câu 4:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:
Xem đáp án »
28/06/2022
277
Câu 5:
Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:
Xem đáp án »
28/06/2022
271
Câu 6:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]
Xem đáp án »
28/06/2022
266
Câu 7:
Biết \[F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\] là nguyên hàm của hàm số \[y = (2x + 3).{e^x}\]. Khi đó b−a là
Xem đáp án »
28/06/2022
259
về câu hỏi!