Câu hỏi:

28/06/2022 231

Nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx\] là:

Đáp án chính xác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có:

\[I = \smallint \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx = \smallint \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{\frac{{x{e^x} + 1}}{{{e^x}}}}}dx = \smallint \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^{2x}}}}{{x{e^x} + 1}}dx = \smallint \frac{{x{e^x}\left( {x + 1} \right){e^x}}}{{x{e^x} + 1}}dx.\]

Đặt

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x{e^x}}\\{dv = \frac{{(x + 1){e^x}}}{{x{e^x} + 1}}dx = \frac{{d(x{e^x} + 1)}}{{x{e^x} + 1}}}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = ({e^x} + x{e^x})dx = (x + 1){e^x}dx}\\{v = ln|x{e^x} + 1|}\end{array}} \right.\end{array}\)

Khi đó ta có: \[I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \smallint \ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx + C.\]

Đặt\[t = x{e^x} + 1 \Rightarrow dt = \left( {{e^x} + x{e^x}} \right)dx = \left( {x + 1} \right){e^x}dx\]

\[ \Rightarrow \smallint \ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx = \smallint \ln \left| t \right|dt\]

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = ln|t|}\\{dv = dt}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{1}{t}dt}\\{v = t}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \smallint \ln \left| t \right|dt = \ln \left| t \right|.t - \smallint dt + C = \ln \left| t \right|.t - t + C\]

\[ = \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right) + C.\]

Vậy\[I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + \left( {x{e^x} + 1} \right) + C\]

\[ = x{e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C.\]

Đáp án cần chọn là: A

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

\[\smallint x\sin x\cos xdx\]bằng:

Xem đáp án » 28/06/2022 8,500

Câu 2:

Tính \[I = \smallint \cos \sqrt x dx\] ta được:

Xem đáp án » 28/06/2022 924

Câu 3:

Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).

Xem đáp án » 28/06/2022 492

Câu 4:

Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]

Xem đáp án » 28/06/2022 362

Câu 5:

Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:

Xem đáp án » 28/06/2022 343

Câu 6:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:

Xem đáp án » 28/06/2022 340

Câu 7:

Chọn công thức đúng:

Xem đáp án » 28/06/2022 335
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua