Câu hỏi:
28/06/2022 162Tính \[\smallint \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx\]?
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có:\[\frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + 1}}\]
\[ \Rightarrow \smallint \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx = \smallint \frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx - \smallint \frac{1}{{{x^2} + 1}}dx\,\,\left( 1 \right)\]
Ta tính\[\smallint \frac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx = \smallint \frac{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\] bằng phương pháp tích phân từng phân như sau:
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = \frac{{d({x^2} + 1)}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = - \frac{1}{{{x^2} + 1}}}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow \smallint \frac{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \smallint \frac{{dx}}{{{x^2} + 1}} + C\,\,\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) suy ra
\[\smallint \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx = - \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \smallint \frac{{dx}}{{{x^2} + 1}} + C - \smallint \frac{1}{{{x^2} + 1}}dx = - \frac{x}{{{x^2} + 1}} + C.\]
Đáp án cần chọn là: C
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 3:
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).
Câu 4:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]
Câu 5:
Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:
Câu 6:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 13)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận