Câu hỏi:

28/06/2022 179

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 1 \right) = 0,\;F(x) = {[f(x)]^{2020}}\] là một nguyên hàm của \[2020x.{e^x}\]. Họ các nguyên hàm của \[{f^{2020}}(x)\;\] là:

A.\[2020\left( {x - 2} \right){e^x} + C\]

B. \[x{e^x} + C\]

C. \[2020\left( {x + 2} \right){e^x} + C\]

D. \[\left( {x - 2} \right){e^x} + C\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì\[F\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2020}}\] là một nguyên hàm của\[2020x.{e^x}\] nên

\[\begin{array}{*{20}{l}}{F'\left( x \right) = 2020x.{e^x}}\\{ \Leftrightarrow 2020{f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right) = 2020x.{e^x}}\\{ \Leftrightarrow {f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right) = x.{e^x}}\end{array}\]

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\smallint {f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right)dx = \smallint x.{e^x}dx}\\{ \Leftrightarrow \smallint {f^{2019}}\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right] = x.{e^x} - \smallint {e^x}dx}\\{ \Leftrightarrow \frac{{{f^{2020}}\left( x \right)}}{{2020}} = x.{e^x} - {e^x} + C}\\{ \Leftrightarrow {f^{2020}}\left( x \right) = 2020\left( {x - 1} \right){e^x} + 2020C}\end{array}\]

Có \[f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow 0 = 2020C \Leftrightarrow C = 0\] do đó\[{f^{2020}}\left( x \right) = 2020\left( {x - 1} \right){e^x}\]

\[ \Rightarrow I = \smallint {f^{2020}}\left( x \right)dx = \smallint 2020\left( {x - 1} \right){e^x}dx\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x - 1}\\{dv = {e^x}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = {e^x}}\end{array}} \right.\)

Khi đó

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,I = 2020\left[ {\left( {x - 1} \right){e^x} - \smallint {e^x}dx + C} \right]}\\{ \Leftrightarrow I = 2020\left[ {\left( {x - 1} \right){e^x} - {e^x} + C} \right]}\\{ \Leftrightarrow I = 2020\left[ {\left( {x - 2} \right){e^x} + C} \right]}\\{ \Leftrightarrow I = 2020\left( {x - 2} \right){e^x} + C}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A

Bình luận

Câu 1:

\[\smallint x\sin x\cos xdx\]bằng:

A.\[\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4}\sin 2x - \frac{x}{2}\cos 2x} \right) + C\]

B. \[ - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 2x - \frac{x}{4}\cos 2x} \right) + C\]

C. \[\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{x}{2}\cos 2x} \right) + C\]

D. \[ - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{x}{4}\cos 2x} \right) + C\]

Xem đáp án » 28/06/2022 8,739

Câu 2:

Tính \[I = \smallint \cos \sqrt x dx\] ta được:

A.\[2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x - \cos \sqrt x } \right) + C\]

B. \[2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x } \right) + C\]

C. \[\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x + C\]

D. \[\sqrt x \sin \sqrt x - \cos \sqrt x + C\]

Xem đáp án » 28/06/2022 945

Câu 3:

Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).

A.\[I = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - 2F\left( x \right) + C\]

B. \[I = F\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)f\left( x \right)\]

C. \[I = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) + C\]

D. \[I = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - F\left( x \right) + C\]

Xem đáp án » 28/06/2022 500

Câu 4:

Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]

A.\[\smallint f(x)dx = {x^3}\ln 3x - \frac{{{x^3}}}{3} + C\]

B. \[\smallint f(x)dx = \frac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{9} + C\]

C. \[\smallint f(x)dx = \frac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{3} + C\]

D. \[\smallint f(x)dx = \frac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{{27}} + C\]

Xem đáp án » 28/06/2022 370

Câu 5:

Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:

A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = g'\left( x \right)dx}\\{v = \smallint h(x)dx}\end{array}} \right.\)

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = g\left( x \right)dx}\\{v = \smallint h(x)dx}\end{array}} \right.\)

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \smallint g\left( x \right)dx}\\{v = h(x)dx}\end{array}} \right.\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = g'\left( x \right)dx}\\{v = h(x)dx}\end{array}} \right.\)

Xem đáp án » 28/06/2022 354

Câu 6:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:

A.\[\left( {x + 1} \right){e^x} + C\]

B. \[\left( {x + 1} \right){e^x} - x + C\]

C. \[\left( {x + 2} \right){e^x} - x + C\]

D. \[\left( {x + 1} \right){e^x} + x + C\]

Xem đáp án » 28/06/2022 349

Câu 7:

Chọn công thức đúng:

A.\[\smallint udv = uv + \smallint vdu\]

B. \[\smallint udv = uv - \smallint vdu\]

C. \[\smallint udv = \smallint uv - \smallint vdu\]

D. \[\smallint udv = \smallint uvdv - \smallint vdu\]

Xem đáp án » 28/06/2022 345

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 1 \right) = 0,\;F(x) = {[f(x)]^{2020}}\] là một nguyên hàm của \[2020x.{e^x}\]. Họ các nguyên hàm của \[{f^{2020}}(x)\;\] là:

Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1)

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1)

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)