Câu hỏi:
28/06/2022 134Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 1 \right) = 0,\;F(x) = {[f(x)]^{2020}}\] là một nguyên hàm của \[2020x.{e^x}\]. Họ các nguyên hàm của \[{f^{2020}}(x)\;\] là:
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Vì\[F\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2020}}\] là một nguyên hàm của\[2020x.{e^x}\] nên
\[\begin{array}{*{20}{l}}{F'\left( x \right) = 2020x.{e^x}}\\{ \Leftrightarrow 2020{f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right) = 2020x.{e^x}}\\{ \Leftrightarrow {f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right) = x.{e^x}}\end{array}\]
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\smallint {f^{2019}}\left( x \right).f'\left( x \right)dx = \smallint x.{e^x}dx}\\{ \Leftrightarrow \smallint {f^{2019}}\left( x \right)d\left[ {f\left( x \right)} \right] = x.{e^x} - \smallint {e^x}dx}\\{ \Leftrightarrow \frac{{{f^{2020}}\left( x \right)}}{{2020}} = x.{e^x} - {e^x} + C}\\{ \Leftrightarrow {f^{2020}}\left( x \right) = 2020\left( {x - 1} \right){e^x} + 2020C}\end{array}\]
Có \[f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow 0 = 2020C \Leftrightarrow C = 0\] do đó\[{f^{2020}}\left( x \right) = 2020\left( {x - 1} \right){e^x}\]
\[ \Rightarrow I = \smallint {f^{2020}}\left( x \right)dx = \smallint 2020\left( {x - 1} \right){e^x}dx\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x - 1}\\{dv = {e^x}dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = {e^x}}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,\,I = 2020\left[ {\left( {x - 1} \right){e^x} - \smallint {e^x}dx + C} \right]}\\{ \Leftrightarrow I = 2020\left[ {\left( {x - 1} \right){e^x} - {e^x} + C} \right]}\\{ \Leftrightarrow I = 2020\left[ {\left( {x - 2} \right){e^x} + C} \right]}\\{ \Leftrightarrow I = 2020\left( {x - 2} \right){e^x} + C}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 3:
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).
Xem đáp án »
28/06/2022
334
Câu 4:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:
Xem đáp án »
28/06/2022
299
Câu 5:
Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:
Xem đáp án »
28/06/2022
297
Câu 6:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]
Xem đáp án »
28/06/2022
291
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 5)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 4)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)
về câu hỏi!