Câu hỏi:

28/06/2022 227

Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left( {0; + \infty } \right)\;\]và thỏa mãn \[2f(x) + xf\left( {\frac{1}{x}} \right) = x\;\] với mọi x>0. Tính \[\mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 f\left( x \right)dx\].

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có: \[2f\left( x \right) + xf\left( {\frac{1}{x}} \right) = x\] với\[x = \frac{1}{t}\]ta có \[2f\left( {\frac{1}{t}} \right) + \frac{1}{t}f\left( t \right) = \frac{1}{t}\]

\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{t}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{t}f\left( t \right)} \right)\]

\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{x}f\left( x \right)} \right)\]

Khi đó ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{2f\left( x \right) + \frac{1}{2}x\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{x}f\left( x \right)} \right) = x}\\{ \Leftrightarrow 2f\left( x \right) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}f\left( x \right) = x}\\{ \Leftrightarrow \frac{3}{2}f\left( x \right) = x - \frac{1}{2}}\\{ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 \left( {x - \frac{1}{2}} \right)dx}\\{ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 f\left( x \right)dx = \frac{9}{8} \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 f\left( x \right)dx = \frac{3}{4}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Cách 1:

\[\begin{array}{l}I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{dx}}{{\sin x}}\\ = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\left( {co{s^2}\frac{x}{2} + si{n^2}\frac{x}{2}} \right)}}{{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}}dx\\ = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \left( {cot\frac{x}{2} + tan\frac{x}{2}} \right)dx\\ = \left[ {\ln \left| {sin\frac{x}{2}} \right| - \ln \left| {cos\frac{x}{2}} \right|} \right]\left| {_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}} \right.\\ = \left[ {\ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] - \left[ {\ln \frac{1}{2} - \ln \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right]\\ = \ln \sqrt 3 \end{array}\]

Cách 2:

Bước 1: Dùng máy tính như hình dưới, thu được giá trị 0,549306...

Tích phân I = nguyên hàm từ pi/3 đến pi/2 dx/sin x   có giá trị bằng (ảnh 1)

Bước 2: Lấy\[{e^{0,549306...}}\]cho kết quả \[1,732050808... \approx \sqrt 3 \]Chọn\[\frac{1}{2}\ln 3\]

Tích phân I = nguyên hàm từ pi/3 đến pi/2 dx/sin x   có giá trị bằng (ảnh 2)

Cách 3:

Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng)

Tích phân I = nguyên hàm từ pi/3 đến pi/2 dx/sin x   có giá trị bằng (ảnh 3)

Chọn \[\frac{1}{2}\ln 3\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2

Lời giải

\[I = \mathop \smallint \limits_2^5 \frac{{dx}}{x} = ln|x|\left| {_2^5} \right. = ln5 - ln2 = ln\frac{5}{2}\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP