Câu hỏi:
28/06/2022 155Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left( {0; + \infty } \right)\;\]và thỏa mãn \[2f(x) + xf\left( {\frac{1}{x}} \right) = x\;\] với mọi x>0. Tính \[\mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 f\left( x \right)dx\].
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Tích phân !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \[2f\left( x \right) + xf\left( {\frac{1}{x}} \right) = x\] với\[x = \frac{1}{t}\]ta có \[2f\left( {\frac{1}{t}} \right) + \frac{1}{t}f\left( t \right) = \frac{1}{t}\]
\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{t}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{t}f\left( t \right)} \right)\]
\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{x}f\left( x \right)} \right)\]
Khi đó ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{2f\left( x \right) + \frac{1}{2}x\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{x}f\left( x \right)} \right) = x}\\{ \Leftrightarrow 2f\left( x \right) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}f\left( x \right) = x}\\{ \Leftrightarrow \frac{3}{2}f\left( x \right) = x - \frac{1}{2}}\\{ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 \left( {x - \frac{1}{2}} \right)dx}\\{ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 f\left( x \right)dx = \frac{9}{8} \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_{\frac{1}{2}}^2 f\left( x \right)dx = \frac{3}{4}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Nếu \[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx = 5\]và \[\mathop \smallint \limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]^2}dx = 36\]thì \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
1,037
Câu 2:
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{dx}}{{\sin x}}\] có giá trị bằng
Xem đáp án »
28/06/2022
1,033
Câu 3:
Nếu \[\mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{dx}}{{x + 3}}\]được viết dưới dạng \[ln\frac{a}{b}\;\] với a,b là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của a,b là 1. Chọn khẳng định sai:
Xem đáp án »
28/06/2022
723
Câu 4:
Cho hai tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^2 {x^3}dx,J = \int\limits_0^2 {xdx} \]. Tìm mối quan hệ giữa I và J
Xem đáp án »
28/06/2022
709
Câu 5:
Đặt \[F\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_1^x tdt\]. Khi đó F′(x) là hàm số nào dưới đây?
Xem đáp án »
28/06/2022
586
Câu 6:
Nếu \[f\left( 1 \right) = 12,f\prime (x)\;\] liên tục và \[\int\limits_1^4 {f\prime (x)dx = 17} \]thì giá trị của f(4) bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
455
Câu 7:
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx\] có giá trị bằng
Xem đáp án »
28/06/2022
446
về câu hỏi!