Câu hỏi:
28/06/2022 91Giá trị của tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)dx\] là:
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có:
\[\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\]
\[ = \left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]\]
\[\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^3} - 3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)} \right]\]
\[ = \left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)\left( {1 - \frac{3}{4}{{\sin }^2}2x} \right) = 1 - \frac{5}{4}{\sin ^2}2x + \frac{3}{8}{\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^2}\]
\[ = 1 - \frac{5}{4}.\frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{3}{8}.{\left( {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right)^2}\]
\[ = \frac{3}{8} + \frac{5}{8}\cos 4x + \frac{3}{{32}}\left( {1 - 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right) = \frac{{15}}{{32}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{3}{{32}}{\cos ^2}4x\]
\[ = \frac{{15}}{{32}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{3}{{32}}.\frac{{1 + \cos 8x}}{2} = \frac{{33}}{{64}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{3}{{64}}\cos 8x\]
Do đó\[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{33}}{{64}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{3}{{64}}\cos 8x} \right)dx\]
\[ = \frac{{33}}{{64}}x\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. + \frac{7}{{64}}sin4x\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. + \frac{3}{{512}}sin8x\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. = = \frac{{33}}{{128}}\pi \]
Đáp án cần chọn là: B
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Nếu \[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx = 5\]và \[\mathop \smallint \limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]^2}dx = 36\]thì \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Câu 2:
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{dx}}{{\sin x}}\] có giá trị bằng
Câu 3:
Nếu \[\mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{dx}}{{x + 3}}\]được viết dưới dạng \[ln\frac{a}{b}\;\] với a,b là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của a,b là 1. Chọn khẳng định sai:
Câu 4:
Cho hai tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^2 {x^3}dx,J = \int\limits_0^2 {xdx} \]. Tìm mối quan hệ giữa I và J
Câu 5:
Đặt \[F\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_1^x tdt\]. Khi đó F′(x) là hàm số nào dưới đây?
Câu 6:
Nếu \[f\left( 1 \right) = 12,f\prime (x)\;\] liên tục và \[\int\limits_1^4 {f\prime (x)dx = 17} \]thì giá trị của f(4) bằng:
Câu 7:
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx\] có giá trị bằng
về câu hỏi!