Câu hỏi:
28/06/2022 259Cho hàm số f(x) có f(0)=0 và \[f\prime (x) = si{n^4}x\forall x \in \mathbb{R}\]. Tích phân \[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( x \right)dx\] bằng:
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Tích phân !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có\[f\left( x \right) = \smallint f'\left( x \right)dx = \smallint {\sin ^4}xdx\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ = \smallint {{\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)}^2}dx}\\{ = \frac{1}{4}\smallint \left( {1 - 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)dx}\\{ = \frac{1}{4}\smallint \left( {1 - 2\cos 2x + \frac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)dx}\\{ = \frac{1}{4}\left( {x - \sin 2x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.\frac{{\sin 4x}}{4}} \right) + C}\\{ = \frac{{3x}}{8} - \frac{{\sin 2x}}{4} + \frac{{\sin 4x}}{{32}} + C}\end{array}\]
Theo bài ra ta có\[f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{3x}}{8} - \frac{{\sin 2x}}{4} + \frac{{\sin 4x}}{{32}}\]
Vậy\[\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{3x}}{8} - \frac{{\sin 2x}}{4} + \frac{{\sin 4x}}{{32}}} \right)dx = \frac{{3{\pi ^2} - 16}}{{64}}\] (sử dụng MTCT).
Đáp án cần chọn là: C
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Nếu \[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx = 5\]và \[\mathop \smallint \limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]^2}dx = 36\]thì \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
1,018
Câu 2:
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{dx}}{{\sin x}}\] có giá trị bằng
Xem đáp án »
28/06/2022
1,001
Câu 3:
Nếu \[\mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{dx}}{{x + 3}}\]được viết dưới dạng \[ln\frac{a}{b}\;\] với a,b là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của a,b là 1. Chọn khẳng định sai:
Xem đáp án »
28/06/2022
702
Câu 4:
Cho hai tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^2 {x^3}dx,J = \int\limits_0^2 {xdx} \]. Tìm mối quan hệ giữa I và J
Xem đáp án »
28/06/2022
675
Câu 5:
Đặt \[F\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_1^x tdt\]. Khi đó F′(x) là hàm số nào dưới đây?
Xem đáp án »
28/06/2022
576
Câu 6:
Nếu \[f\left( 1 \right) = 12,f\prime (x)\;\] liên tục và \[\int\limits_1^4 {f\prime (x)dx = 17} \]thì giá trị của f(4) bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
449
Câu 7:
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx\] có giá trị bằng
Xem đáp án »
28/06/2022
427
về câu hỏi!