Câu hỏi:
28/06/2022 179Cho hàm số y=f(x) nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right].\;\]Đặt \[g\left( x \right) = 1 + 2\mathop \smallint \limits_0^x f\left( t \right)dt\]. Biết \[g\left( x \right) \ge {\left[ {f\left( x \right)} \right]^3}\] với mọi \[x \in \left[ {0;1} \right].\] Tích phân \[\mathop \smallint \limits_0^1 \sqrt[3]{{{{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}}}\,dx\]có giá trị lớn nhất bằng
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Tích phân !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có\[g\left( x \right) = 1 + 2\mathop \smallint \limits_0^x f\left( t \right)dt\]suy ra\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g(x) - 1 = 2\int\limits_0^2 {f(t)dt} }\\{g(0) = 1 + \int\limits_0^0 {f(t)dt} }\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\prime (x) = 2f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{{g\prime (x)}}{2}}\\{g(0) = 1}\end{array}} \right.\)
Mà
\[g\left( x \right) \ge {\left[ {f\left( x \right)} \right]^3} \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge {\left[ {\frac{{g'\left( x \right)}}{2}} \right]^3} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{g\left( x \right)}} \ge \frac{{g'\left( x \right)}}{2} \Leftrightarrow \frac{{g'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{g\left( x \right)}}}} \le 2\]
Với\[t \in \left[ {0;1} \right]\]Lấy tích phân hai vế ta được
\(\int\limits_0^t {\frac{{g\prime (x)}}{{\sqrt[3]{{g\left( x \right)}}}}} dx \le \int\limits_0^t {2dx} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int\limits_0^t {{{[g(x)]}^{\frac{{ - 1}}{3}}}} d(g(x)) \le 2t\\ \Leftrightarrow 2t \ge 32{[g(x)]^{\frac{2}{3}}}\left| {_0^t} \right.\\ \Leftrightarrow \frac{4}{3}t \ge \sqrt[3]{{{g^2}(t)}} - \sqrt[3]{{{g^2}(0)}}\end{array}\)
Mà\[g\left( 0 \right) = 1\] nên\[\sqrt[3]{{{g^2}\left( t \right)}} \le \frac{4}{3}t + 1 \Rightarrow \sqrt[3]{{{g^2}\left( x \right)}} \le \frac{4}{3}x + 1\]
Từ đó ta có\[\mathop \smallint \limits_0^1 \sqrt[3]{{{g^2}\left( x \right)}}\,dx \le \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {\frac{4}{3}x + 1} \right)dx\]
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt[3]{{{g^2}(x)}}} dx \le \left( {\frac{2}{3}{x^2} + x} \right)\left| {_0^1} \right.\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt[3]{{{g^2}(x)}}} dx \le \frac{5}{2}\)
Hay giá trị lớn nhất cần tìm là\[\frac{5}{3}.\]
Đáp án cần chọn là: B
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Nếu \[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx = 5\]và \[\mathop \smallint \limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]^2}dx = 36\]thì \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
1,018
Câu 2:
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{dx}}{{\sin x}}\] có giá trị bằng
Xem đáp án »
28/06/2022
1,000
Câu 3:
Nếu \[\mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{dx}}{{x + 3}}\]được viết dưới dạng \[ln\frac{a}{b}\;\] với a,b là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của a,b là 1. Chọn khẳng định sai:
Xem đáp án »
28/06/2022
702
Câu 4:
Cho hai tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^2 {x^3}dx,J = \int\limits_0^2 {xdx} \]. Tìm mối quan hệ giữa I và J
Xem đáp án »
28/06/2022
675
Câu 5:
Đặt \[F\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_1^x tdt\]. Khi đó F′(x) là hàm số nào dưới đây?
Xem đáp án »
28/06/2022
576
Câu 6:
Nếu \[f\left( 1 \right) = 12,f\prime (x)\;\] liên tục và \[\int\limits_1^4 {f\prime (x)dx = 17} \]thì giá trị của f(4) bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
449
Câu 7:
Tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx\] có giá trị bằng
Xem đáp án »
28/06/2022
427
về câu hỏi!