Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn ${x^2} + {y^2} = 2,y > 0$ và parabol $y = {x^2}\;$ bằng:

${x^2} + {y^2} = 2(y > 0) \Leftrightarrow y = \sqrt {2 - {x^2}}$

+ Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình:

$\sqrt {2 - {x^2}} = {x^2} \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 1}\\{{x^2} = - 2\left( L \right)}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow x = \pm 1$

+ Với $- 1 \le x \le 1$ thì

$\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} \le 1 \Rightarrow {x^4} \le 1}\\{ \Rightarrow {x^4} + {x^2} - 2 = \left( {{x^4} - 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) \le 0}\end{array}$

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 0 \le {x^4} \le 2 - {x^2}}\\{ \Rightarrow {x^2} \le \sqrt {2 - {x^2}} }\end{array}$

$\Rightarrow {x^2} - \sqrt {2 - {x^2}} \le 0 \Rightarrow \left| {\sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}} \right| = \sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}$

+ Diện tích hình phẳng là:

$S = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \left| {\sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}} \right|dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \left( {\sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}} \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \sqrt {2 - {x^2}} dx - \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {x^2}dx$

+ Với${I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \sqrt {2 - {x^2}} dx$

Đặt$x = \sqrt 2 \sin u \Rightarrow dx = \sqrt 2 \cos udu$

Khi$x = - 1 \Rightarrow u = - \frac{\pi }{4}$

$x = 1 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}$

Do đó ${I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} \sqrt {2 - 2{{\sin }^2}u} .\sqrt 2 \cos udu = \mathop \smallint \limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} 2{\cos ^2}udu = \mathop \smallint \limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} (1 + \cos 2u)du$

$= u\left| {_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}} \right. + \frac{1}{2}sin2u\left| {_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}} \right. = \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}sin\frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} + 1$

+ Với${I_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx = } \frac{1}{3}{x^3}\left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow S = {I_1} - {I_2} = \frac{\pi }{2} + 1 - \frac{2}{3} = \frac{\pi }{2} + \frac{1}{3}$