Câu hỏi:
28/06/2022 565Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \[{x^2} + {y^2} = 2,y > 0\] và parabol \[y = {x^2}\;\] bằng:
Đáp án chính xác
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\[{x^2} + {y^2} = 2(y > 0) \Leftrightarrow y = \sqrt {2 - {x^2}} \]
+ Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình:
\(\sqrt {2 - {x^2}} = {x^2} \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 1}\\{{x^2} = - 2\left( L \right)}\end{array}} \right.\)
\[ \Leftrightarrow x = \pm 1\]
+ Với \[ - 1 \le x \le 1\] thì
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} \le 1 \Rightarrow {x^4} \le 1}\\{ \Rightarrow {x^4} + {x^2} - 2 = \left( {{x^4} - 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) \le 0}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 0 \le {x^4} \le 2 - {x^2}}\\{ \Rightarrow {x^2} \le \sqrt {2 - {x^2}} }\end{array}\]
\[ \Rightarrow {x^2} - \sqrt {2 - {x^2}} \le 0 \Rightarrow \left| {\sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}} \right| = \sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}\]
+ Diện tích hình phẳng là:
\[S = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \left| {\sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}} \right|dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \left( {\sqrt {2 - {x^2}} - {x^2}} \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \sqrt {2 - {x^2}} dx - \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {x^2}dx\]
+ Với\[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \sqrt {2 - {x^2}} dx\]
Đặt\[x = \sqrt 2 \sin u \Rightarrow dx = \sqrt 2 \cos udu\]
Khi\[x = - 1 \Rightarrow u = - \frac{\pi }{4}\]
\[x = 1 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}\]
Do đó \[{I_1} = \mathop \smallint \limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} \sqrt {2 - 2{{\sin }^2}u} .\sqrt 2 \cos udu = \mathop \smallint \limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} 2{\cos ^2}udu = \mathop \smallint \limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} (1 + \cos 2u)du\]
\( = u\left| {_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}} \right. + \frac{1}{2}sin2u\left| {_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}} \right. = \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}sin\frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} + 1\)
+ Với\({I_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx = } \frac{1}{3}{x^3}\left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
\[ \Rightarrow S = {I_1} - {I_2} = \frac{\pi }{2} + 1 - \frac{2}{3} = \frac{\pi }{2} + \frac{1}{3}\]
Đáp án cần chọn là: D
Nhà sách vietjack
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh 40(cm) như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình \[4{x^2} = {y^4}\;\] và \[4{(|x| - 1)^3} = {y^2}\;\] để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Xem đáp án »
28/06/2022
2,656
Câu 2:
Cho hai hàm số \[f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \frac{5}{2}\left( {m,n,p \in \mathbb{R}} \right)\]và\(g\left( x \right) = {x^2} + 3x - 1\) có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1;1( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f(x)và g(x) bằng
Xem đáp án »
28/06/2022
2,574
Câu 3:
Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ dưới đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi
Xem đáp án »
28/06/2022
2,038
Câu 4:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \[y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,\,;\,\,y = x + 3\]
Xem đáp án »
28/06/2022
1,609
Câu 5:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = {x^3} - x;y = 2x\] và các đường thẳng \[x = - 1;x = 1\;\] được xác định bởi công thức:
Xem đáp án »
28/06/2022
885
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD tâm O, độ dài cạnh là 4cm. Đường cong BOC là một phần của parabol đỉnh O chia hình vuông thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S1 và S2 (tham khảo hình vẽ).
Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng:
Cho hình vuông ABCD tâm O, độ dài cạnh là 4cm. Đường cong BOC là một phần của parabol đỉnh O chia hình vuông thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S1 và S2 (tham khảo hình vẽ).
Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
784
Câu 7:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \[y = {x^2} - 4\;\] và \[y = x - 4\]
Xem đáp án »
28/06/2022
696
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 13)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận