Câu hỏi:
28/06/2022 249Cho parabol \[\left( P \right):y = {x^2} + 1\]và đường thẳng \[(d):y = mx + 2\]. Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bới (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương trình hoành độ giao điểm dd và (P)
Có:\[{x^2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0(1) \Rightarrow {\rm{\Delta }} = {m^2} + 4 > 0\]
Phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy dd luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B với mọi m.
Giả sử A,B lần lượt có hoành độ là a,b nên\[A\left( {a;ma + 2} \right)\]và\[B\left( {b;mb + 2} \right)(a < b)\]
Với x thuộc\[x \in \left( {a;b} \right)\]thì \[mx + 2 \ge {x^2} + 1\]
Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P)
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_a^b {(mx + 2 - x2 - 1)dx} \\ = \int\limits_a^b {(mx - {x^2} + 1)dx = \left( {\frac{{m{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \left| {_a^b} \right.\end{array}\)
\[ = \left( {b - a} \right)\left[ {\frac{m}{2}(a + b) + 1 - \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + ab)} \right]\]
\[ = (b - a)\left[ {\frac{m}{2}\left( {b + a} \right) + 1 - \frac{1}{3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \frac{1}{3}ab} \right]\]
\[ \Rightarrow {S^2} = {(b - a)^2}{\left[ {\frac{m}{2}(b + a) + 1 - \frac{1}{3}{{(a + b)}^2} + \frac{1}{3}ab} \right]^2}\]
\[ = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab} \right]{\left[ {\frac{m}{2}\left( {b + a} \right) + 1 - \frac{1}{3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \frac{1}{3}ab} \right]^2}\]
Vì a,b là nghiệm của pt (1) nên a+b=m và ab=−1
Suy ra
\[{S^2} = \left( {{m^2} + 4} \right){\left( {\frac{{{m^2}}}{6} + \frac{2}{3}} \right)^2} \ge 4.\frac{4}{9} = \frac{{16}}{9} \Rightarrow S \ge \sqrt {\frac{{16}}{9}} = \frac{4}{3}\,khi\,m = 0\]
Đáp án cần chọn là: B
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Diện tích phần tô đậm là
\[S = 4\left[ {\mathop \smallint \limits_0^1 \left( {\sqrt {2x} - 0} \right)dx + \mathop \smallint \limits_1^2 \left( {\sqrt {2x} - 2\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^3}} } \right)dx} \right] = \frac{{112}}{{15}}\,\,\left( {d{m^2}} \right) \approx 747\,\,\left( {c{m^2}} \right)\]
Đáp án cần chọn là: B
Lời giải
Gọi H là trung điểm của BC.
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{S_1} = \frac{4}{3}Rh = \frac{4}{3}.HC.OH = \frac{4}{3}.2.2 = \frac{{16}}{3}\,{m^2}.}\\{{S_{ABCD}} = {4^2} = 16}\\{ \Rightarrow {S_2} = {S_{ABCD}} - {S_1} = 16 - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}\,\,{m^2}.}\\{ \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{16}}{3}:\frac{{32}}{3} = \frac{1}{2}.}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 30)
Nhắn tin Zalo