Câu hỏi:
28/06/2022 130Cho hàm số \[y = {x^4} - 3{x^2} + m\] có đồ thị là (Cm) (m là tham số thực). Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt. Gọi \[{S_1},{S_2}\;\] là diện tích của hai hình phẳng nằm dưới trục Ox và S3 là diện tích của hình phẳng nằm trên trục Ox được tạo bởi (Cm) với trục Ox. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị \[m = \frac{a}{b}\] (với \[a,b \in {\mathbb{N}^*}\;\] và tối giản) để \[{S_1} + {S_2} = {S_3}\]. Giá trị của 2a−b bằng:
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:\[{x^4} - 3{x^2} + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\]
Đặt\[t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\] khi đó phương trình (1) trở thành\[{t^2} - 3t + m = 0\,\,\,\left( 2 \right)\]
Vì đồ thị hàm số\[y = {x^4} - 3{x^2} + m\] cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt.
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9 - 4m > 0}\\{3 > 0(luon\,dung)}\\{m > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}\left( * \right)\)
Giả sử phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt\[0 < {t_1} < {t_2}\] áp dụng định lí Vi-ét ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + {t_2} = 3}\\{{t_1}{t_2} = m}\end{array}} \right.\) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
\[ - \sqrt {{t_2}} < - \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_2}} \]
Do tính đối xứng qua trục tung của hàm đa thức bậc bốn trùng phương nên\[{S_1} = {S_2}\] do đó theo bài ra ta có \[{S_1} + {S_2} = {S_3} \Leftrightarrow 2{S_1} = {S_3}\]
Ta có:
\[{S_2} = \mathop \smallint \limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } \left| {f\left( x \right)} \right|dx = - \mathop \smallint \limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } f\left( x \right)dx\]
\[{S_3} = \mathop \smallint \limits_{ - \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} } \left| {f\left( x \right)} \right|dx = \mathop \smallint \limits_{ - \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} } f\left( x \right)dx = 2\mathop \smallint \limits_0^{\sqrt {{t_1}} } f\left( x \right)dx\] (do f(x) là hàm chẵn).
Ta có:
\(\begin{array}{l}2{S_2} = {S_3}\\ \Leftrightarrow - 2\int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx = 2\int\limits_0^{\sqrt {{t_1}} } {f(x)dx} } \\ \Leftrightarrow 2\left( {\int\limits_0^{\sqrt {{t_1}} } {f(x)dx} + \int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx = 0} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {({x^4} - 3{x^2} + m)dx = 0} \\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^3} + mx} \right)\left| {_0^{\sqrt {{t_2}} }} \right. = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt {{t_2}} } \right)}^5}}}{5} - {\left( {\sqrt {{t_2}} } \right)^3} + m\sqrt {{t_2}} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} \left( {\frac{{{t^2}}}{5} - t + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{t_2}^2}}{5} - {t_2} + m = 0\,\,(Do\,\,{t_2} > 0)\,\\ \Leftrightarrow t_2^2 - 5{t_2} + 5m = 0( * )\end{array}\)
Mà \[{t_2}\] là nghiệm của phương trình\[{t^2} - 3t + m = 0\] nên\[t_2^2 - 3{t_2} + m = 0\] và\[{t_2} = \frac{{3 + \sqrt {9 - 4m} }}{2}\]
Do đó
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left( * \right) \Leftrightarrow t_2^2 - 3{t_2} + m - 2{t_2} + 4m = 0}\\{ \Leftrightarrow - 2{t_2} + 4m = 0 \Leftrightarrow {t_2} = 2m}\end{array}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{3 + \sqrt {9 - 4m} }}{2} = 2m\\ \Leftrightarrow 3 + \sqrt {9 - 4m} = 4m\\ \Leftrightarrow \sqrt {9 - 4m} = 4m - 3\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4m - 3 > 0}\\{9 - 4m = 16{m^2} - 24m + 9}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{3}{4}}\\{16{m^2} - 20m = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{3}{4}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\left( {tm*} \right)\end{array}\)
Vậy \[a = 5,\,\,b = 4 \Rightarrow 2a - b = 10 - 4 = 6.\]
Đáp án cần chọn là: C
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hai hàm số \[f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \frac{5}{2}\left( {m,n,p \in \mathbb{R}} \right)\]và\(g\left( x \right) = {x^2} + 3x - 1\) có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1;1( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f(x)và g(x) bằng
Câu 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \[y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,\,;\,\,y = x + 3\]
Câu 3:
Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ dưới đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi
Câu 4:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\] và hai đường thẳng \[x = a,x = b(a < b)\;\] là:
Câu 5:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \[y = {x^2} - 4\;\] và \[y = x - 4\]
Câu 6:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \[{x^2} + {y^2} = 2,y > 0\] và parabol \[y = {x^2}\;\] bằng:
Câu 7:
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^3},y = 2 - x\]và y = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Gọi 084 283 45 85
Hỗ trợ đăng ký khóa học tại Vietjack
về câu hỏi!