Câu hỏi:

28/06/2022 232

Cho hàm số $y = {x^4} - 3{x^2} + m$ có đồ thị là (Cm) (m là tham số thực). Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt. Gọi ${S_1},{S_2}\;$ là diện tích của hai hình phẳng nằm dưới trục Ox và S3 là diện tích của hình phẳng nằm trên trục Ox được tạo bởi (Cm) với trục Ox. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị $m = \frac{a}{b}$ (với $a,b \in {\mathbb{N}^*}\;$ và tối giản) để ${S_1} + {S_2} = {S_3}$ . Giá trị của 2a−b bằng:

A.3

B.−4

C.6

Đáp án chính xác

D.−2

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Ứng dụng tích phân để tính diện tích !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${x^4} - 3{x^2} + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)$

Đặt $t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ khi đó phương trình (1) trở thành ${t^2} - 3t + m = 0\,\,\,\left( 2 \right)$

Vì đồ thị hàm số $y = {x^4} - 3{x^2} + m$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt.

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9 - 4m > 0}\\{3 > 0(luon\,dung)}\\{m > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}\left( * \right)$

Giả sử phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt $0 < {t_1} < {t_2}$ áp dụng định lí Vi-ét ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + {t_2} = 3}\\{{t_1}{t_2} = m}\end{array}} \right.$ Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

$- \sqrt {{t_2}} < - \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_2}}$

Do tính đối xứng qua trục tung của hàm đa thức bậc bốn trùng phương nên ${S_1} = {S_2}$ do đó theo bài ra ta có ${S_1} + {S_2} = {S_3} \Leftrightarrow 2{S_1} = {S_3}$

Ta có:

${S_2} = \mathop \smallint \limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } \left| {f\left( x \right)} \right|dx = - \mathop \smallint \limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } f\left( x \right)dx$

${S_3} = \mathop \smallint \limits_{ - \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} } \left| {f\left( x \right)} \right|dx = \mathop \smallint \limits_{ - \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} } f\left( x \right)dx = 2\mathop \smallint \limits_0^{\sqrt {{t_1}} } f\left( x \right)dx$ (do f(x) là hàm chẵn).

Ta có:

$\begin{array}{l}2{S_2} = {S_3}\\ \Leftrightarrow - 2\int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx = 2\int\limits_0^{\sqrt {{t_1}} } {f(x)dx} } \\ \Leftrightarrow 2\left( {\int\limits_0^{\sqrt {{t_1}} } {f(x)dx} + \int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx = 0} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {({x^4} - 3{x^2} + m)dx = 0} \\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^3} + mx} \right)\left| {_0^{\sqrt {{t_2}} }} \right. = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt {{t_2}} } \right)}^5}}}{5} - {\left( {\sqrt {{t_2}} } \right)^3} + m\sqrt {{t_2}} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} \left( {\frac{{{t^2}}}{5} - t + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{t_2}^2}}{5} - {t_2} + m = 0\,\,(Do\,\,{t_2} > 0)\,\\ \Leftrightarrow t_2^2 - 5{t_2} + 5m = 0( * )\end{array}$

Mà ${t_2}$ là nghiệm của phương trình ${t^2} - 3t + m = 0$ nên $t_2^2 - 3{t_2} + m = 0$ và ${t_2} = \frac{{3 + \sqrt {9 - 4m} }}{2}$

Do đó

$\begin{array}{*{20}{l}}{\left( * \right) \Leftrightarrow t_2^2 - 3{t_2} + m - 2{t_2} + 4m = 0}\\{ \Leftrightarrow - 2{t_2} + 4m = 0 \Leftrightarrow {t_2} = 2m}\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{3 + \sqrt {9 - 4m} }}{2} = 2m\\ \Leftrightarrow 3 + \sqrt {9 - 4m} = 4m\\ \Leftrightarrow \sqrt {9 - 4m} = 4m - 3\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4m - 3 > 0}\\{9 - 4m = 16{m^2} - 24m + 9}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{3}{4}}\\{16{m^2} - 20m = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{3}{4}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\left( {tm*} \right)\end{array}$

Vậy $a = 5,\,\,b = 4 \Rightarrow 2a - b = 10 - 4 = 6.$

Đáp án cần chọn là: C

Bình luận

Câu 1:

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \frac{5}{2}\left( {m,n,p \in \mathbb{R}} \right)$ và $g\left( x \right) = {x^2} + 3x - 1$ có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1;1( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f(x)và g(x) bằng

A. $\frac{9}{2}$

B. $\frac{{18}}{5}$

C.4

D.5

Xem đáp án » 28/06/2022 2,543

Câu 2:

Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh 40(cm) như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình $4{x^2} = {y^4}\;$ và $4{(|x| - 1)^3} = {y^2}\;$ để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. $506\,\,\left( {c{m^2}} \right)$

B. $747\,\,\left( {c{m^2}} \right)$

C. $507\,\,\left( {c{m^2}} \right)$

D. $746\,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Xem đáp án » 28/06/2022 2,325

Câu 3:

Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ dưới đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi

A. $S = \mathop \smallint \nolimits_{ - 2}^2 f(x)dx$

B. $S = \mathop \smallint \nolimits_1^{ - 2} f(x)dx + \mathop \smallint \nolimits_1^2 f(x)dx$

C. $S = \mathop \smallint \nolimits_{ - 2}^1 f(x)dx + \mathop \smallint \nolimits_1^2 f(x)dx$

D. $S = \mathop \smallint \nolimits_{ - 2}^1 f(x)dx - \mathop \smallint \nolimits_1^2 f(x)dx$

Xem đáp án » 28/06/2022 1,973

Câu 4:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: $y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,\,;\,\,y = x + 3$

A. $\frac{{107}}{6}$

B. $\frac{{109}}{6}$

C. $\frac{{109}}{7}$

D. $\frac{{109}}{8}$

Xem đáp án » 28/06/2022 1,579

Câu 5:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x = - 1;x = 1\;$ được xác định bởi công thức:

A. $S = \left| {\mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^1 \left( {3x - {x^3}} \right)dx} \right|$

B. $S = \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^0 \left( {3x - {x^3}} \right)dx + \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {{x^3} - 3x} \right)dx$

C. $S = \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^1 \left( {3x - {x^3}} \right)dx$

D. $S = \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^0 \left( {{x^3} - 3x} \right)dx + \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {3x - {x^3}} \right)dx$

Xem đáp án » 28/06/2022 863

Câu 6:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^2} - 4\;$ và $y = x - 4$

A. $S = \frac{{16}}{3}$

B. $S = \frac{{161}}{6}$

C. $S = \frac{1}{6}$

D. $S = \frac{5}{6}$

Xem đáp án » 28/06/2022 689

Câu 7:

Cho hình vuông ABCD tâm O, độ dài cạnh là 4cm. Đường cong BOC là một phần của parabol đỉnh O chia hình vuông thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S₁ và S₂ (tham khảo hình vẽ).

Tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{2}{5}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án » 28/06/2022 664

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) cho 2k7 VietJack

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) cho 2k7 VietJack

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack

Bình luận

Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ dưới đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: $y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,\,;\,\,y = x + 3$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x = - 1;x = 1\;$ được xác định bởi công thức:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^2} - 4\;$ và $y = x - 4$

Cho hình vuông ABCD tâm O, độ dài cạnh là 4cm. Đường cong BOC là một phần của parabol đỉnh O chia hình vuông thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S₁ và S₂ (tham khảo hình vẽ).

Tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$ bằng:

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ dưới đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: y=|x2−4x+3|;y=x+3y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,\,;\,\,y = x + 3

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=x3−x;y=2xy = {x^3} - x;y = 2x và các đường thẳng x=−1;x=1x = - 1;x = 1\; được xác định bởi công thức:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y=x2−4y = {x^2} - 4\; và y=x−4y = x - 4

Cho hình vuông ABCD tâm O, độ dài cạnh là 4cm. Đường cong BOC là một phần của parabol đỉnh O chia hình vuông thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S1 và S2 (tham khảo hình vẽ). Tỉ số S1S2\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} bằng:

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: $y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,\,;\,\,y = x + 3$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x = - 1;x = 1\;$ được xác định bởi công thức:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^2} - 4\;$ và $y = x - 4$

Cho hình vuông ABCD tâm O, độ dài cạnh là 4cm. Đường cong BOC là một phần của parabol đỉnh O chia hình vuông thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S₁ và S₂ (tham khảo hình vẽ).

Tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$ bằng: