Câu hỏi:
28/06/2022 147Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \[f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\;\] với a,b,c là các số thực. Biết hàm số \[g(x) = f(x) + f\prime (x) + f\prime \prime (x)\;\] có hai giá trị cực trị là −3 và 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 6}}\;v\`a \;y = 1\] bằng
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
* Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\[\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6 \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) - 6 = 0\]
(Chúng ta không cần lo điều kiện\[g\left( x \right) + 6 \ne 0\] bởi lẽ đồ thị hàm số \[y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}\] khi tương giao với đường thẳng\[y = 1\] phải tạo nên một miền kín, và khi số nghiệm của phương trình\[f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6\] nhiều hơn 2 thì ta mới phải chú ý xem xét lấy cận từ đâu đến đâu, và liệu rằng có phải từ\[{x_{\min }} \to {x_{\max }}\] chẳng may đồ thị tương giao bị gián đoạn trên đoạn\[\left[ {{x_{\min }};{x_{\max }}} \right]\] mà vẫn tạo miền kín. Trên thực tế, bài toán này phương trình\[f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6\] chỉ có 2 nghiệm (vì là phương trình bậc hai), nên người giải toán không cần quan tâm đến việc gián đoạn hay không, vì việc tồn tại nghiệm hình và hàm số là thuộc phạm trù người ra đề).
Mà\[g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = - f'\left( x \right) - f''\left( x \right)\]
⇒⇒ Phương trình hoành độ giao điểm trở thành:
\[ - f'\left( x \right) - f''\left( x \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + 6 = 0\](1)
Mặt khác:\[g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + f'''\left( x \right)\] và\[f'''\left( x \right) = 6\]
\[ \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + 6\]
Từ phương trình (1)\[ \Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0\]
Theo giả thiết g(x) có 2 điểm cực trị\[{x_1},\,\,{x_2}\] sao cho\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g({x_1}) = - 3}\\{g({x_2}) = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm\[{x_1},\,\,{x_2}\]
Vậy phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm\[{x_1},\,\,{x_2}\]
\[ \Rightarrow {S_{\left( H \right)}} = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x) + 6}} - 1} \right)dx} } \right|\]
\[\begin{array}{l} = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{f(x) - g(x) - 6}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\\ = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{ - f\prime (x) - f\prime \prime (x) - 6}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\\ = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{ - g\prime (x)}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\end{array}\]
\[ = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{g\prime (x)}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\]
\[ = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{d(g(x) + 6)}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\]
\[\begin{array}{l} = \mid ln|g(x) + 6||_{{x_1}}^{{x_2}}\mid \\ = |ln|g({x_2}) + 6| - ln|g({x_1}) + 6||\\ = |ln|6 + 6| - ln| - 3 + 6|| = ln12 - ln3 = 2ln2\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hai hàm số \[f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \frac{5}{2}\left( {m,n,p \in \mathbb{R}} \right)\]và\(g\left( x \right) = {x^2} + 3x - 1\) có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1;1( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f(x)và g(x) bằng
Xem đáp án »
28/06/2022
1,931
Câu 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \[y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,\,;\,\,y = x + 3\]
Xem đáp án »
28/06/2022
977
Câu 3:
Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ dưới đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi
Xem đáp án »
28/06/2022
582
Câu 4:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\] và hai đường thẳng \[x = a,x = b(a < b)\;\] là:
Xem đáp án »
28/06/2022
473
Câu 5:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \[y = {x^2} - 4\;\] và \[y = x - 4\]
Xem đáp án »
28/06/2022
452
Câu 6:
Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh 40(cm) như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình \[4{x^2} = {y^4}\;\] và \[4{(|x| - 1)^3} = {y^2}\;\] để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Xem đáp án »
28/06/2022
450
Câu 7:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \[{x^2} + {y^2} = 2,y > 0\] và parabol \[y = {x^2}\;\] bằng:
Xem đáp án »
28/06/2022
447
về câu hỏi!