Câu hỏi:

28/06/2022 313

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho hàm số \[f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\;\] với a,b,c là các số thực. Biết hàm số \[g(x) = f(x) + f\prime (x) + f\prime \prime (x)\;\] có hai giá trị cực trị là −3 và 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 6}}\;v\`a \;y = 1\] bằng

Đáp án chính xác

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

* Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\[\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6 \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) - 6 = 0\]

(Chúng ta không cần lo điều kiện\[g\left( x \right) + 6 \ne 0\]  bởi lẽ đồ thị hàm số \[y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}\] khi tương giao với đường thẳng\[y = 1\] phải tạo nên một miền kín, và khi số nghiệm của phương trình\[f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6\] nhiều hơn 2 thì ta mới phải chú ý xem xét lấy cận từ đâu đến đâu, và liệu rằng có phải từ\[{x_{\min }} \to {x_{\max }}\] chẳng may đồ thị tương giao bị gián đoạn trên đoạn\[\left[ {{x_{\min }};{x_{\max }}} \right]\] mà vẫn tạo miền kín. Trên thực tế, bài toán này phương trình\[f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6\] chỉ có 2 nghiệm (vì là phương trình bậc hai), nên người giải toán không cần quan tâm đến việc gián đoạn hay không, vì việc tồn tại nghiệm hình và hàm số là thuộc phạm trù người ra đề).

Mà\[g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = - f'\left( x \right) - f''\left( x \right)\]

⇒⇒ Phương trình hoành độ giao điểm trở thành:

\[ - f'\left( x \right) - f''\left( x \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + 6 = 0\](1)

Mặt khác:\[g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + f'''\left( x \right)\] và\[f'''\left( x \right) = 6\]

\[ \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + 6\]

Từ phương trình (1)\[ \Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0\]

Theo giả thiết g(x) có 2 điểm cực trị\[{x_1},\,\,{x_2}\] sao cho\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g({x_1}) = - 3}\\{g({x_2}) = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm\[{x_1},\,\,{x_2}\]

Vậy phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm\[{x_1},\,\,{x_2}\]

\[ \Rightarrow {S_{\left( H \right)}} = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x) + 6}} - 1} \right)dx} } \right|\]

\[\begin{array}{l} = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{f(x) - g(x) - 6}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\\ = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{ - f\prime (x) - f\prime \prime (x) - 6}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\\ = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{ - g\prime (x)}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\end{array}\]

\[ = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{g\prime (x)}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\]

\[ = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{d(g(x) + 6)}}{{g(x) + 6}}dx} } \right|\]

\[\begin{array}{l} = \mid ln|g(x) + 6||_{{x_1}}^{{x_2}}\mid \\ = |ln|g({x_2}) + 6| - ln|g({x_1}) + 6||\\ = |ln|6 + 6| - ln| - 3 + 6|| = ln12 - ln3 = 2ln2\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai hàm số \[f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \frac{5}{2}\left( {m,n,p \in \mathbb{R}} \right)\]và\(g\left( x \right) = {x^2} + 3x - 1\) có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1;1( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f(x)và g(x) bằng

Cho hai hàm số f(x)=mx^3+nx^2+px− 5/2   (m,n,p thuộc R)vàg(x)=x^2+3x−1 có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1;1( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f(x)và g(x) bằng (ảnh 1)

Xem đáp án » 28/06/2022 2,508

Câu 2:

Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh 40(cm) như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình \[4{x^2} = {y^4}\;\] và \[4{(|x| - 1)^3} = {y^2}\;\] để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh 40(cm) như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình  (ảnh 1)

Xem đáp án » 28/06/2022 1,885

Câu 3:

Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ dưới đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi

Xem đáp án » 28/06/2022 1,862

Câu 4:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \[y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,\,;\,\,y = x + 3\]

Xem đáp án » 28/06/2022 1,550

Câu 5:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = {x^3} - x;y = 2x\] và các đường thẳng \[x = - 1;x = 1\;\] được xác định bởi công thức:

Xem đáp án » 28/06/2022 775

Câu 6:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \[y = {x^2} - 4\;\] và \[y = x - 4\]

Xem đáp án » 28/06/2022 675

Câu 7:

Cho hình vuông ABCD tâm O, độ dài cạnh là 4cm. Đường cong BOC là một phần của parabol đỉnh O chia hình vuông thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S1 và S2 (tham khảo hình vẽ).

Cho hình vuông ABCD tâm O, độ dài cạnh là 4cm. Đường cong BOC là một phần của parabol đỉnh O chia hình vuông thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S1 và S2 (tham khảo hình vẽ). (ảnh 1)

Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) bằng:

Xem đáp án » 28/06/2022 608