Câu hỏi:
29/06/2022 561Cho số phức z thỏa mãn\[\left| {z - 1 - 2i} \right| = 4\]. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \[\left| {z + 2 + i} \right|.\]Tính \[S = {M^2} + {m^2}\]
Quảng cáo
Trả lời:
Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có
\[|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \ge ||z - 1 - 2i| - |3 + 3i|| = |4 - 3\sqrt 2 | = 3\sqrt 2 - 4 = m\]
\[|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \le |z - 1 - 2i| + |3 + 3i| = 4 + 3\sqrt 2 = M\]
Suy ra
\[{M^2} + {m^2} = {(3\sqrt 2 - 4)^2} + {(4 + 3\sqrt 2 )^2} = 2({4^2} + {(3\sqrt 2 )^2}) = 68\]
Đáp án cần chọn là: C
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có\[|z - 3 + 4i| = 2 \Leftrightarrow |2z - 6 + 8i| = 4.\]
Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có
\[4 = |2z - 6 + 8i| = |(2z + 1 - i) - (7 - 9i)| \ge |2z + 1 - i| - |7 - 9i| = |w| - \sqrt {130} \]
\[ \Rightarrow |w| - \sqrt {130} \le 4 \Rightarrow |w| \le 4 + \sqrt {130} \]
Đáp án cần chọn là: D
Lời giải
Cách 1: Dùng phương pháp hình học →→ Kỹ năng dồn số phức.
\[P = \left| {z + i\,{\rm{\bar w}} - 6 - 8i} \right| = \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) - \left( { - i\bar w} \right)} \right| = \left| {u - v} \right|\]
Trong đó:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = z - 6 - 8i}\\{v = - i\overline {\rm{w}} }\end{array}} \right.\) u có điểm biểu diễn là A, v có điểm biểu diễn là B.
\[ \Rightarrow P = \left| {u - v} \right| = AB \Rightarrow \]Cần đạt Min.
\[\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) + 6 + 8i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {u + 6 + 8i} \right| = 1\]
⇒ Tập hợp điểm A biểu diễn số phức uu là đường tròn: \[\left( {{C_1}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I( - 6; - 8)}\\{{R_1} = 1}\end{array}} \right.\]
\[\left| w \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\bar w} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - i} \right|.\left| {\bar w} \right| = \left| { - i} \right|.2 \Rightarrow \left| { - i\bar w} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| v \right| = 2\]
⇒ Tập hợp điểm B biểu diễn số phức v là đường tròn\[\;({C_2}):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{O(0;0)}\\{{R_2} = 2}\end{array}} \right.\]
Có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{IA = {R_1} = 1}\\{OB = {R_2} = 2}\\{OI = 10}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow A{B_{\min }} = IO - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7\]
Min đạt được khi:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {OA} = \frac{9}{{10}}\overrightarrow {OI} \Rightarrow A\left( {\frac{{ - 27}}{5};\frac{{ - 36}}{5}} \right) \Rightarrow u = - \frac{{27}}{5} - \frac{{36}}{5}i}\\{\overrightarrow {OB} = \frac{1}{5}\overrightarrow {OI} \Rightarrow B\left( {\frac{{ - 6}}{5};\frac{{ - 8}}{5}} \right) \Rightarrow v = - \frac{6}{5} - \frac{8}{5}i}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = u + 6 + 8i = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i}\\{ - i\overline {\rm{w}} = v \Rightarrow \overline {\rm{w}} = \frac{v}{{ - i}} = \frac{{ - \frac{6}{5} - \frac{8}{5}i}}{{ - i + \frac{6}{5}i}} = \frac{8}{5} - \frac{6}{5}i \Rightarrow {\rm{w}} = \frac{8}{5}}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i} \right) - \left( {\frac{8}{5} + \frac{6}{5}i} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {29} }}{5}\]
Cách 2: Phương pháp dùng BĐT vectơ
Ta có BĐT cho 3 vectơ\[\vec a,\,\,\vec b,\,\,\vec c\]thì\[\left| {\vec a + \vec b + \vec c} \right| \ge \left| {\vec a} \right| - \left| {\vec b} \right| - \left| {\vec c} \right|\]
Dấu “=” xảy ra ⇔\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|}\\{\overrightarrow a = k\overrightarrow b }\\{\overrightarrow a = m\overrightarrow c }\end{array}} \right.(k;m < 0)\)
* Đặt\[P = \left| {z + i\,{\rm{\bar w}} - 6 - 8i} \right| = \left| {\underbrace {\left( { - 6 - 8i} \right)}_{ = \overrightarrow a } + \underbrace z_{ = \overrightarrow b } + \underbrace {i\overline {\rm{w}} }_{ = \overrightarrow c }} \right|\]
Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{( - 6 - 8i) \Leftrightarrow \overrightarrow a ( - 6; - 8) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = 10}\\{z \Leftrightarrow \overrightarrow b \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = 1}\\{i\overline {\rm{w}} \Leftrightarrow \overrightarrow c \Rightarrow \left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {i\overline {\rm{w}} } \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 2}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow P = \left| {\vec a + \vec b + \vec c} \right| \ge \left| {\vec a} \right| - \left| {\vec b} \right| - \left| {\vec c} \right| = 10 - 1 - 2 = 7\]
\[ \Rightarrow {P_{\min }} = 7\]đạt Min khi\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|(dung\,do10 > 1 + 2)}\\{\overrightarrow a = - 10\overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow b = - \frac{1}{{10}}\overrightarrow a = \left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right)}\\{\overrightarrow a = - 5\overrightarrow c \Leftrightarrow \overrightarrow c = - \frac{1}{5}\overrightarrow a = \left( {\frac{6}{5};\frac{8}{5}} \right)}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i}\\{i\overline {\rm{w}} = \frac{6}{5} + \frac{8}{5}i \Leftrightarrow {\rm{w}} = \frac{8}{5} + \frac{6}{5}i}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i} \right) - \left( {\frac{8}{5} + \frac{6}{5}i} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {29} }}{5}\]
Đáp án cần chọn là: D
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 30)
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận