Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABC?

Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABC

Vì chóp S.ABC đều nên\[SO \bot \left( {ABC} \right)\]

⇒OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC)

\[ \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;OA} \right)} = \widehat {SAO} = {60^0}\]

\[SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow {\rm{\Delta }}SAO\] vuông tại O

Gọi D là trung điểm của BC ta có: \[AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]

\[ \Rightarrow SO = AO.\tan 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3 = a\]

Vì tam giác ABC đều nên\[{S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\]

Vậy\[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{1}{3}a\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\]

Đáp án cần chọn là: BCâu 14. Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là 16cm², diện tích một mặt bên là \[8\sqrt 3 c{m^2}\]. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A.\[\frac{{32\sqrt 2 }}{3}c{m^3}\]

B. \[\frac{{32\sqrt {13} }}{3}c{m^3}\]

C. \[\frac{{32\sqrt {11} }}{3}c{m^3}\]

D. \[4c{m^3}\]Trả lời:

Gọi\[O = AC \cap BD\].Vì chóp S.ABCD đều nên\[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]

Vì chóp S.ABCD đều nên ABCD là hình vuông

\[ \Rightarrow {S_{ABCD}} = A{B^2} = 16 \Rightarrow AB = 4\left( {cm} \right) = AD\]

Gọi E là trung điểm của AB⇒OE là đường trung bình của tam giác ABD

\[ \Rightarrow OE//AD \Rightarrow OE \bot AB\]và \[OE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}.4 = 2\left( {cm} \right)\]

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{OE \bot AB}\\{SO \bot AB(SO \bot (ABCD))}\end{array}} \right\} \Rightarrow AB \bot (SOE) \Rightarrow AB \bot SE\)

\[ \Rightarrow {S_{{\rm{\Delta }}SAB}} = \frac{1}{2}SE.AB = 8\sqrt 3 \Rightarrow SE = \frac{{16\sqrt 3 }}{{AB}} = \frac{{16\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\]

\[SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OE \Rightarrow {\rm{\Delta }}SOE\] vuông tại O

\[ \Rightarrow SO = \sqrt {S{E^2} - O{E^2}} = \sqrt {48 - 4} = \sqrt {44} = 2\sqrt {11} \left( {cm} \right)\]

Vậy\[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.2\sqrt {11} .16 = \frac{{32\sqrt {11} }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\]

Đáp án cần chọn là: C