Câu hỏi:
29/06/2022 237Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \]. Mặt phẳng thay đổi chứa BG và cắt AC,AD lần lượt tại M và N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số \[\frac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}}\] là
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Thể tích của khối chóp !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi O là trọng tâm tam giác BCD
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 3\overrightarrow {GO} }\\{ \Rightarrow \overrightarrow {GA} + 3\overrightarrow {GO} = \vec 0}\\{ \Rightarrow \overrightarrow {GA} = - 3\overrightarrow {GO} }\\{ \Rightarrow \frac{{AG}}{{AO}} = \frac{3}{4}}\end{array}\]
Trong (ABE) gọi\[F = BG \cap AE\,\,\left( {F \in AE} \right)\]
Lấy\[M \in AC\] trong (ACD) gọi\[N = MF \cap AD\,\,\,\left( {N \in AD} \right)\] khi đó ta có mặt phẳng chứa BG cắt AC,AD lần lượt tại M,N chính là (BMN).
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AOE, cát tuyến BGF:
\[\frac{{GA}}{{GO}}.\frac{{BO}}{{BE}}.\frac{{FE}}{{FA}} = 1 \Rightarrow 3.\frac{2}{3}.\frac{{FE}}{{FA}} = 1 \Rightarrow \frac{{FE}}{{FA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AF}}{{AE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow F\] là trọng tâm tam giác ACD.
Trong (ACD) kéo dài MN cắt CD tại H. Đặt \[\frac{{AM}}{{AC}} = x\left( {0 < x < 1} \right)\]
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACE, cát tuyến MHF:\[\frac{{MA}}{{MC}}.\frac{{HC}}{{HE}}.\frac{{FE}}{{FA}} = 1 \Rightarrow \frac{x}{{1 - x}}.\frac{{HC}}{{HE}}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{{HC}}{{HE}} = \frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{x}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow HE = \frac{x}{{2\left( {1 - x} \right)}}HC}\\{ \Rightarrow HC + CE = \frac{x}{{2\left( {1 - x} \right)}}HC}\\{ \Rightarrow CE = \frac{{3x - 2}}{{2\left( {1 - x} \right)}}HC}\end{array}\]
Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{HD = HC + 2CE}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\, = HC + \frac{{3x - 2}}{{1 - x}}HC = \frac{{2x - 1}}{{1 - x}}HC}\\{ \Rightarrow \frac{{HE}}{{HD}} = \frac{x}{{2\left( {1 - x} \right)}}:\frac{{2x - 1}}{{1 - x}} = \frac{x}{{2\left( {2x - 1} \right)}}}\end{array}\]
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AED, cát tuyến MFN:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{FA}}{{FE}}.\frac{{HE}}{{HD}}.\frac{{ND}}{{NA}} = 1 \Rightarrow 2.\frac{x}{{2\left( {2x - 1} \right)}}.\frac{{ND}}{{NA}} = 1}\\{ \Rightarrow \frac{{ND}}{{NA}} = \frac{{2x - 1}}{x} \Rightarrow \frac{{NA}}{{ND}} = \frac{x}{{2x - 1}}}\\{ \Rightarrow \frac{{NA}}{{NA + ND}} = \frac{x}{{x + 2x - 1}} = \frac{x}{{3x - 1}}}\\{ \Rightarrow \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{x}{{3x - 1}}}\end{array}\]
Khi đó ta có\[\frac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AM}}{{AC}}.\frac{{AN}}{{AD}} = x.\frac{x}{{3x - 1}} = \frac{{{x^2}}}{{3x - 1}}\,\,\left( {x > \frac{1}{3}} \right)\]
Xét hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{3x - 1}}\,\,\left( {x > \frac{1}{3}} \right)\] ta có
\[f'\left( x \right) = \frac{{2x\left( {3x - 1} \right) - 3{x^2}}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{3{x^2} - 2x}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}};f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\,(ktm)}\\{x = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\]
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy\[\mathop {\min }\limits_{\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{4}{9}\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của tỉ số\[\frac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{4}{9}\]
Đáp án cần chọn là: B
Nhà sách vietjack
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy nằm trong hình vuông ABCD. Biết rằng SA và SC tạo với đáy các góc bằng nhau, góc giữa SB và đáy bằng 450, góc giữa SD và đáy bằng α với \[tan\alpha = \frac{1}{3}\]. Tính thể tích khối chóp đã cho.
Xem đáp án »
29/06/2022
2,665
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng \[\frac{7}{{25}}\] lần phần còn lại. Tính tỉ số \[\frac{{IA}}{{IS}}\]?
Xem đáp án »
29/06/2022
2,274
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng SC tạo với đáy góc 450. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Thể tích của khối chóp S.MCDN là:
Xem đáp án »
29/06/2022
2,249
Câu 4:
Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:
Xem đáp án »
29/06/2022
1,957
Câu 5:
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 4a3, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng a2. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB).
Xem đáp án »
29/06/2022
1,941
Câu 6:
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA1. Thể tích khối chóp M.BCA1 là:
Xem đáp án »
29/06/2022
1,618
Câu 7:
Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng \(a\sqrt 2 \). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là:
Xem đáp án »
29/06/2022
1,496
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 13)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận