Câu hỏi:

29/06/2022 250

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 6 \). Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng \(3\sqrt 2 \). Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC

Đáp án chính xác

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng (ảnh 1)

Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của điểm SS lên AB,BC,AC ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,{S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = {S_{{\rm{\Delta }}BCA}} = {S_{{\rm{\Delta }}CAB}}}\\{ \Rightarrow \frac{1}{2}SM.AB = \frac{1}{2}SN.BC = \frac{1}{2}SP.CA}\end{array}\]

Mà\[AB = BC = CA\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow SM = SN = SP\]

Gọi O là hình chiếu của S lên (ABC), ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot SM}\\{AB \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot (SOM) \Rightarrow AB \bot OM\)

CMTT ta có\[ON \bot BC,\,\,OP \bot AC\]

Xét các tam giác vuông\[{\rm{\Delta }}SOM,\,\,{\rm{\Delta }}SON,\,\,{\rm{\Delta }}SOP\]có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{SO\,\,chung}\\{SM = SN = SP\,\,\left( {cmt} \right)}\end{array}\]

\[ \Rightarrow {\rm{\Delta }}SOM = {\rm{\Delta }}SON = {\rm{\Delta }}SOP\](cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\[ \Rightarrow OM = ON = OP\] suy ra O cách đều các cạnh AB,BC,CA nên OO là tâm đường tròn nội tiếp \[{\rm{\Delta }}ABC\]hoặc O là tâm đường tròn bàng tiếp\[{\rm{\Delta }}ABC\]

+ TH1: O là tâm đường tròn nội tiếp\[{\rm{\Delta }}ABC\] Mà\[{\rm{\Delta }}ABC\]đều nên O là đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC. Khi đó ta có

\[AN = \frac{{\sqrt 6 .\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2},\,\,AO = \frac{2}{3}AN = \sqrt 2 \]

\[ \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {18 - 2} = 4\]

\[{S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = {\left( {\sqrt 6 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\]

\[ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{1}{3}.4.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \]

TH2: O là tâm đường tròn bàng tiếp \[\Delta ABC\].

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng (ảnh 2)

Gọi R là bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác ABC, p là nửa chu vi tam giác ABC

\[ \Rightarrow p = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]

Khi đó ta có\[{S_{ABC}} = \left( {p - BC} \right).R\]

\[ \Rightarrow {\left( {\sqrt 6 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \left( {\frac{{3\sqrt 6 }}{2} - \sqrt 6 } \right).R \Leftrightarrow R = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\]

Có\[AN = \frac{{\sqrt 6 .\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow OA = AN + ON = 3\sqrt 2 \]

\[ \Rightarrow SA > OA = 3\sqrt 2 \] (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

\[ \Rightarrow SB = 3\sqrt 2 \]

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBM có:

\[OB = \sqrt {O{M^2} + B{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 6 \]

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOB có:

\[SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}} = 2\sqrt 3 \]

Khi đó ta có\[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.2\sqrt 3 .{\left( {\sqrt 6 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 3\]

Vậy\[\min {V_{S.ABC}} = 3\]

Đáp án cần chọn là: A

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy nằm trong hình vuông ABCD. Biết rằng SA và SC tạo với đáy các góc bằng nhau, góc giữa SB và đáy bằng 450, góc giữa SD và đáy bằng α với \[tan\alpha = \frac{1}{3}\]. Tính thể tích khối chóp đã cho.

Xem đáp án » 29/06/2022 2,277

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD  thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng \[\frac{7}{{25}}\] lần phần còn lại. Tính tỉ số \[\frac{{IA}}{{IS}}\]?

Xem đáp án » 29/06/2022 2,199

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng SC tạo với đáy góc 450. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Thể tích của khối chóp S.MCDN là:

Xem đáp án » 29/06/2022 2,048

Câu 4:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 4a3, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng a2. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB).

Xem đáp án » 29/06/2022 1,822

Câu 5:

Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

Xem đáp án » 29/06/2022 1,783

Câu 6:

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA1. Thể tích khối chóp M.BCA1 là:

Xem đáp án » 29/06/2022 1,369

Câu 7:

Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng \(a\sqrt 2 \). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là:

Xem đáp án » 29/06/2022 1,350