Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD song song với BC, AD=2BC. Gọi E, F là hai điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB và AD sao cho $\frac{{3AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{AF}} = 5\;$ (E,F không trùng với A), Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích hai khối chóp S.BCDFE và S.ABCD là: 

Đặt $\frac{{AE}}{{AB}} = x,\,\,\frac{{AF}}{{AD}} = y\,\,(0 < x,\,\,y \le 1)$Theo bài ra ta có$\frac{{3AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{AF}} = 5$

$\Rightarrow \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 5\,\,\,\left( 1 \right)$

Vì hai khối chóp S.BCDFE và S.ABCD có cùng chiều cao nên

$k = \frac{{{V_{S.BCDFE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{{S_{BCDFE}}}}{{{S_{ABCD}}}}$

Đặt${S_{ABCD}} = S$ kẻ$BH \bot AD\,\,\left( {H \in AD} \right)$ta có

$S = \frac{1}{2}BH.\left( {BC + AD} \right) = \frac{3}{2}.BH.BC$

Ta có:$\frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABD}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AE.AF.\sin \angle BAD}}{{\frac{1}{2}AB.AD.\sin \angle BAD}} = xy \Rightarrow {S_{AEF}} = xy.{S_{ABD}}$

Mà${S_{ABD}} = \frac{1}{2}BH.AD$nên

${S_{AEF}} = \frac{1}{2}xy.BH.AD = xy.BH.BC = \frac{3}{2}BH.BC.\frac{2}{3}xy \Rightarrow {S_{AEF}} = \frac{2}{3}xy.S$

$\Rightarrow {S_{BCDFE}} = {S_{ABCD}} - {S_{AEF}} = S - \frac{2}{3}xy.S = S\left( {1 - \frac{2}{3}xy} \right)$

$\Rightarrow k = \frac{{S.\left( {1 - \frac{2}{3}xy} \right)}}{S} = 1 - \frac{2}{3}xy$

Theo (1) ta có:$\frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 5 \Leftrightarrow y = \frac{x}{{5x - 3}}$

Ta có

$0 < \frac{x}{{5x - 3}} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{{5x - 3}} > 0}\\{\frac{{x - 5x + 3}}{{5x - 3}} \le 0}\end{array}} \right.$</>

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x - 3 > 0\,(do\,\,x > 0)}\\{3 - 4x \le 0}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > \frac{3}{5}}\\{x \ge \frac{3}{4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{4}$

Khi đó ta có

$\begin{array}{*{20}{l}}{k = 1 - \frac{2}{3}xy = 1 - \frac{2}{3}x.\frac{x}{{5x - 3}}}\\{\,\,\,\, = 1 - \frac{{2{x^2}}}{{3\left( {5x - 3} \right)}} = \frac{{15x - 9 - 2{x^2}}}{{3\left( {5x - 3} \right)}} = f\left( x \right)}\end{array}$

Xét hàm số$f\left( x \right) = \frac{{ - 2{x^2} + 15x - 9}}{{3\left( {5x - 3} \right)}}$với $\frac{3}{4} \le x \le 1$ta có:

$f\prime (x) = {\frac{{( - 4x + 15).3(5x - 3) - ( - 2{x^2} + 15x - 9).15}}{{9{{(5x - 3)}^2}}}^{}}$

$f\prime (x) = \frac{{3( - 20{x^2} + 87x - 45) - ( - 30{x^2} + 225x - 135)}}{{9{{(5x - 3)}^2}}}$

$f\prime (x) = \frac{{ - 30{x^2} + 36x}}{{9{{(5x - 3)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{6}{5}\left( {ktm} \right)}\\{x = 0\left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.$

BBT:

$\Rightarrow {k_{\min }} = \frac{1}{2},\,\,{k_{\max }} = \frac{2}{3}$

Vậy${k_{\min }} + {k_{\max }} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$