Câu hỏi:

29/06/2022 279

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, \[\angle BAD = {60^0}\], SA=SC và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất V0 của khối đa diện ABCDNEM bằng:

A.\[{V_0} = \frac{{2\sqrt 3 }}{9}\]

B. \[{V_0} = \frac{{8\sqrt 3 }}{{21}}\]

C. \[{V_0} = \frac{{2\sqrt 3 }}{7}\]

D. \[{V_0} = \frac{{4\sqrt 3 }}{9}\]

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Thể tích của khối chóp !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi\[O = AC \cap BD\]ta có:

\[SA = SC \Rightarrow {\rm{\Delta }}SAC\]cân tại \[S \Rightarrow SO \bot AC\]

Tam giác SBD vuông cân tại\[S \Rightarrow SO \bot BD\]

\[ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, (ảnh 1)

Trong (SBD), gọi\[I = MN \cap BD\]

Đặt \[\frac{{SM}}{{SB}} = x,\,\,\frac{{SN}}{{SD}} = y\,\,(0 < x,\,\,y < 1)\]

Ta có:\[\frac{{{V_{S.AME}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SE}}{{SC}} = \frac{1}{2}x \Rightarrow \frac{{{V_{S.AME}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{4}x\]

\[\frac{{{V_{S.ANE}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SN}}{{SD}}.\frac{{SE}}{{SC}} = \frac{1}{2}y \Rightarrow \frac{{{V_{S.ANE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{4}y\]

\[ \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMNE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{{V_{S.AME}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} + \frac{{{V_{S.ANE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{x + y}}{4}\,\,\,\left( 1 \right)\]

Ta lại có:\[\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SD}} = xy \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{xy}}{2}\]

\[\frac{{{V_{S.MNE}}}}{{{V_{S.BDC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SD}}.\frac{{SE}}{{SC}} = \frac{1}{2}xy \Rightarrow \frac{{{V_{S.MNE}}}}{{{V_{S.ABCC}}}} = \frac{{xy}}{4}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMNE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} + \frac{{{V_{S.MNE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{xy}}{2} + \frac{{xy}}{4} = \frac{{3xy}}{4}\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \frac{{x + y}}{4} = \frac{{3xy}}{4} \Leftrightarrow x + y = 3xy\]

\[ \Leftrightarrow x = \left( {3x - 1} \right)y \Leftrightarrow y = \frac{x}{{3x - 1}}\,\,\left( {x \ne \frac{1}{3}} \right)\]

Do \[x,\,\,y > 0 \Rightarrow 3x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\]

Khi đó ta có\[\frac{{{V_{S.AMNE}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{4}\left( {x + \frac{x}{{3x - 1}}} \right)\]

Xét hàm số \[f\left( x \right) = x + \frac{x}{{3x - 1}}\,\,\left( {x > \frac{1}{3}} \right)\]ta có:

\[f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 1 = 1}\\{3x - 1 = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{2}{3}}\\{x = 0\left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.\]

BBT:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, (ảnh 2)

Dựa vào BBT ta thấy\[\min {V_{S.AMNE}} = \frac{1}{4}.\frac{4}{3}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}}\]

\[ \Rightarrow \max {V_{ABCDNEM}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABCD}} \Rightarrow {V_0} = \frac{2}{3}{V_{S.ABCD}}\]

Ta có: \[{\rm{\Delta }}ABD\]đều cạnh 2 \[\left( {AB = AD,\,\angle BAD = {{60}^0}} \right) \Rightarrow {S_{ABD}} = \frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \]

\[ \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2\sqrt 3 \]

Tam giác ABD đều cạnh 2 ⇒BD=2, lại có tam giác SBD vuông cân tại S nên

\[SO = \frac{1}{2}BD = 1\]

\[ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.1.2\sqrt 3 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\]

Vậy\[{V_0} = \frac{2}{3}{V_{S.ABCD}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{9}\]Đáp án cần chọn là: D

Bình luận

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy nằm trong hình vuông ABCD. Biết rằng SA và SC tạo với đáy các góc bằng nhau, góc giữa SB và đáy bằng 45⁰, góc giữa SD và đáy bằng α với \[tan\alpha = \frac{1}{3}\]. Tính thể tích khối chóp đã cho.

A.\[\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\]

B. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\]

C. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\]

D. \[\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\]

Xem đáp án » 29/06/2022 2,499

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng \[\frac{7}{{25}}\] lần phần còn lại. Tính tỉ số \[\frac{{IA}}{{IS}}\]?

A.\[\frac{5}{3}\]

B. \[\frac{2}{3}\]

C. \[\frac{3}{2}\]

D. \[\frac{3}{5}\]

Xem đáp án » 29/06/2022 2,232

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng SC tạo với đáy góc 45⁰. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Thể tích của khối chóp S.MCDN là:

A.\[\frac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\]

B. \[\frac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{6}\]

C. \[\frac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{8}\]

D. \[\frac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\]

Xem đáp án » 29/06/2022 2,167

Câu 4:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 4a³, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng a². Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB).

A.12a

B.6a

C.3a

D.4a

Xem đáp án » 29/06/2022 1,888

Câu 5:

Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

A.\[\frac{{{a^3}}}{6}\]

B. \[\frac{{{a^3}}}{3}\]

C. \[\frac{{{a^3}}}{4}\]

D. \[\frac{{{a^3}}}{8}\]

Xem đáp án » 29/06/2022 1,864

Câu 6:

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA1. Thể tích khối chóp M.BCA1 là:

A.\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\]

B. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\]

C. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\]

D. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\]

Xem đáp án » 29/06/2022 1,490

Câu 7:

Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng \(a\sqrt 2 \). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là:

A.\[2\sqrt 6 {a^3}\]

B. \[8{a^3}\]

C. \[\frac{{2\sqrt 6 }}{3}{a^3}\]

D. \[\frac{{7{a^3}}}{{12}}\]

Xem đáp án » 29/06/2022 1,430

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) cho 2k7 VietJack

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) cho 2k7 VietJack

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack

Bình luận

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng SC tạo với đáy góc 45⁰. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Thể tích của khối chóp S.MCDN là:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 4a³, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng a². Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB).

Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA1. Thể tích khối chóp M.BCA1 là:

Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng \(a\sqrt 2 \). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là:

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng SC tạo với đáy góc 450. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Thể tích của khối chóp S.MCDN là:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 4a3, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng a2. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB).

Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA1. Thể tích khối chóp M.BCA1 là:

Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng \(a\sqrt 2 \). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là:

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng SC tạo với đáy góc 45⁰. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Thể tích của khối chóp S.MCDN là:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 4a³, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng a². Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB).