Câu hỏi:
29/06/2022 235Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại BB có cạnh AB=3, BC=4và góc giữa DC và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot BA}\\{BC \bot DA}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (ABD) \Rightarrow BC \bot BD \Rightarrow \Delta BCD\) vuông tại B.
Gọi I là trung điểm của CD thì \[IB = IC = ID = \frac{1}{2}CD\]
Tam giác ACD vuông tại A nên \[IA = IC = ID = \frac{1}{2}CD\]
Do đó \[IA = IB = IC = ID \Rightarrow I\] là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDABCD.
Tam giác ABC vuông tại B nên \[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\] (Định lí Pytago).
Vì\[DA \bot \left( {ABC} \right)\] nên ACAC là hình chiếu của DCDC lên (ABC).\[ \Rightarrow \angle \left( {DC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {DC;AC} \right) = \angle DCA = {45^0}\]
Tam giác DAC vuông tại A có \[\widehat {DCA} = {45^0}\] nên là tam giác vuông cân
\[ \Rightarrow DC = AC\sqrt 2 = 5\sqrt 2 \]
\[ \Rightarrow R = IA = \frac{1}{2}DC = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\]
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :\[V = \frac{4}{3}\pi I{A^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi \]
Đáp án cần chọn là: C
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60(cm)(tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu?(làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 2:
Cho hai khối cầu (S1),(S2) có cùng bán kính 2 thỏa mãn tính chất: tâm của (S1) thuộc (S2) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2).
Câu 3:
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, \[SA \bot (ABCD)\;\] và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Câu 6:
Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc tạo với nhau thành một tứ diện SABC với SA = a, SB = 2a, SC = 3a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó là
Câu 7:
Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó
về câu hỏi!