Câu hỏi:
29/06/2022 271Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; \[\angle BAC = {120^0}\]. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng với A qua M.
Xét tứ giác ABHC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và
\[AM \bot BC \Rightarrow AH \bot BC\] (do tam giác ABC cân tại A) nên ABHC là hình thoi \[ \Rightarrow HB = HC\]
Xét tam giác ABH có AB = BH, \[\angle BAH = \frac{1}{2}\angle BAC = {60^0}\] nên là tam giác đều, do đó HA = HB.
Suy ra HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi H’ là hình chiếu của A lên (A’B’C’) thì H’ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’, khi đó HH’ là trục của khối lăng trụ đứng.
Gọi I là trung điểm của HH’, ta có IA = IB = IC, IA’ = IB’ = IC’.
Xét tam giác vuông AHI và tam giác vuông A’H’I có: HI = H’I (theo cách dựng), AH = A’H’.
\[ \Rightarrow {\rm{\Delta }}AHI = {\rm{\Delta }}A'H'I\] (2 cạnh góc vuông) =>IA = IA′. Do đó A = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.
Ta có AH = AB = 2 (do ABHC là hình thoi) và HH’ = AA’ = 4 nên IH = 2.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHI có:
\[AI = \sqrt {A{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \]
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là \[R = 2\sqrt 2 \]
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: \[{S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 32\pi \]
Đáp án cần chọn là: C
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60(cm)(tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu?(làm tròn đến hàng đơn vị)
Xem đáp án »
29/06/2022
1,578
Câu 2:
Cho hai khối cầu (S1),(S2) có cùng bán kính 2 thỏa mãn tính chất: tâm của (S1) thuộc (S2) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2).
Xem đáp án »
29/06/2022
561
Câu 3:
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
Xem đáp án »
29/06/2022
553
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, \[SA \bot (ABCD)\;\] và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Xem đáp án »
29/06/2022
512
Câu 6:
Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc tạo với nhau thành một tứ diện SABC với SA = a, SB = 2a, SC = 3a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó là
Xem đáp án »
29/06/2022
482
Câu 7:
Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó
Xem đáp án »
29/06/2022
438
về câu hỏi!