Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ-clít, ta có hai đường thẳng Cx và Cy trùng nhau. Mặt khác, hai tia Cx và Cy cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A nên hai tia này trùng nhau.

Câu 2/21

Hình 4.5 có a // b và $\overset{⏞}{A_{1}} = \overset{⏞}{B_{1}} = 30 °$ . Tính số đo các góc A₂ và B₂.

Xem đáp án

Lời giải

Hình 4.5 có a // b và . Tính số đo các góc A2 và B2. (ảnh 1)

Ta có a // b nên $\overset{⏞}{A_{1}} + \overset{⏞}{B_{1}} = 180 °$ (cặp góc trong cùng phía).

Mặt khác, $\overset{⏞}{A_{1}} - \overset{⏞}{B_{1}} = 30 °$ (đề bài) nên $\overset{⏞}{A_{1}} = (180 ° + 30 °) : 2 = 105 °$ và $\overset{⏞}{B_{1}} = 180 ° - 105 ° = 75 °$ .

Suy ra $\overset{⏞}{A_{2}} = \overset{⏞}{B_{1}} = 75 °$ (cặp góc so le trong); $\overset{⏞}{B_{2}} = \overset{⏞}{A_{1}} = 105 °$ (cặp góc so le trong).

Câu 3/21

Tính các số đo x, y trong hình 4.6, biết $\overset{⏞}{A_{1}} = \overset{⏞}{A_{2}}; \overset{⏞}{B_{1}} = \overset{⏞}{B_{2}}$ và x= $\frac{3}{7} y$ .

Xem đáp án

Lời giải

Tính các số đo x, y trong hình 4.6, biết và x=. (ảnh 1)

Ta có $\overset{⏞}{A_{1}} + \overset{⏞}{A_{2}} = 180 °$ (kề bù) mà $\overset{⏞}{A_{1}} = \overset{⏞}{A_{2}}$ (đề bài) nên $\overset{⏞}{A_{1}} = 180 ° : 2 = 90 °$ .

Suy ra AB $⊥ a$ .

Tương tự AB $⊥ b$ .

Do đó a // b (cùng vuông góc với AB).

Ta có x + y = 180 $°$ (cặp góc trong cùng phía) mà x= $\frac{3}{7} y$ nên x= $\frac{180 \times 3}{10} = 54 °; y = 126 °$ .

Câu 4/21

Hình 4.7 có $\overset{⏞}{A} = 30 °; \overset{⏞}{B} = 70 °; \overset{⏞}{A O B} = 100 °$ . Chứng tỏ rằng Ax // By.

Xem đáp án

Lời giải

Hình 4.7 có . Chứng tỏ rằng Ax // By. (ảnh 1)

Ở trong góc AOB, vẽ tia Ot //Ax. Khi đó $\overset{⏞}{A O t} = \overset{⏞}{A} = 30 °$ (cặp góc so le trong).

Suy ra $\overset{⏞}{B O t} = 100 ° - 30 ° = 70 °$ .

Vậy $\overset{⏞}{B} = \overset{⏞}{B O t} = 70 °$ .

Do đó By // Ot (vì có cặp so le trong bằng nhau).

Từ đó suy ra Ax // By (vì cùng song song với Ot).

Câu 5/21

Cho tam giác ABC. Vẽ điểm M sao cho góc BAM bằng và so le trong với góc B. Vẽ điểm N sao góc CAN bằng và so le trong với góc C. Chứng tỏ rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC. Vẽ điểm M sao cho góc BAM bằng và so le trong với góc B. Vẽ điểm N sao góc CAN bằng và so le trong với góc C. Chứng tỏ rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng. (ảnh 1)

Ta có $\overset{⏞}{B A M} = \overset{⏞}{B}$ suy ra AM // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

$\overset{⏞}{C A N} = \overset{⏞}{C}$ suy ra AN // BC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

Theo tiên đề Ơ-clít qua điểm A chỉ có một đường thẳng song song với BC, do đó ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Câu 6/21

Qua điểm A ở ngoài đường thẳng a vẽ 101 đường thẳng. Chứng tỏ rằng ít nhất cũng có 100 đường thẳng cắt a.

Xem đáp án

Lời giải

Qua điểm A ở ngoài đường thẳng a vẽ 101 đường thẳng. Chứng tỏ rằng ít nhất cũng có 100 đường thẳng cắt a. (ảnh 1)

Giả sử trong số 101 đường thẳng vẽ qua A có chưa đến 100 đường thẳng cắt a. Suy ra ít nhất cũng còn hai đường thẳng không cắt a. Hai đường thẳng này cùng đi qua A và cùng song song với a. Điều này vô lí vì nó trái với tiên đề Ơ-clít. Vậy điều giả sử là sai, do đó qua A có ít nhất 100 đường thẳng cắt a.

Câu 7/21

Cho điểm O ở ngoài đường thẳng xy. Qua O vẽ n đường thẳng. Xác định giá trị nhỏ nhất của n để trong số các đường thẳng đã vẽ, ít nhất cũng có 10 đường thẳng cắt xy.

Xem đáp án

Lời giải

Trong số n đường thẳng đã vẽ, nhiều nhất là có một và chỉ một đường thẳng song song với xy. Do đó muốn có ít nhất 10 đường thẳng cắt xy thì số đường thẳng phải vẽ ít nhất là 11. Vậy .