Chuyên đề Toán 11 KNTT Bài tập cuối chuyên đề 3 có đáp án

Lời giải:

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề đúng là: a, b.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông.

Tam giác OMA vuông tại M có: OA² = OM² + AM² (1)

Tam giác ONA vuông tại N có: OA² = ON² + AN² (2)

Tam giác OPA vuông tại P có: OA² = OP² + AP² (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được: 

3OA² = (OM² + ON² + OP²) + (AM² + AN² + AP²) 

Ta chứng minh được: AM² + AN² + AP² = 2OA². (4)

Suy ra: OA² = OM² + ON² + OP². 

b) Vì AM vuông góc OM, OM // AA₃ nên AM vuông góc AA₃

Mà AA₃ vuông góc với OA₃ 

Suy ra: AM // OA₃ và AA₃ // OM nên AMOA₃ là hình bình hành.

Do đó: AM = OA₃.

Chứng minh tương tự ta được: AN = OA₁, AP = OA₂.

Thay kết quả trên vào (4) ta được: \(OA_3^2 + OA_2^2 + OA_1^2 = 2O{A_2}\).

Suy ra \(OA = \sqrt {\frac{{OA_1^2 + OA_2^2 + OA_3^2}}{2}} \).

Ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Thay số vào kết quả trên ta được: \(OA = \sqrt {\frac{{{1^2} + {2^2} + {3^2}}}{2}} = \sqrt 7 \) (cm).

Lời giải:

a) Hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB có hai đầu mút là hình chiếu cạnh A₃ của A và B₃ của B.

Để xác định A₃ ta làm như sau: Qua điểm A₂ vẽ đường thẳng vuông góc với Oz tại C và trên tia đối của tia Ox lấy điểm D sao cho OC = OD. Đường thẳng qua A₁ và vuông góc với Oz cắt đường thẳng qua D và vuông góc với Ox tại A₃. Tương tự xác định B₃. Nối A₃ và B₃ ta nhận được hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB.

b) Gọi E là giao điểm của A₁A₃ và B₁B₂.

Dễ dàng chứng minh tứ giác A₁A₂B₂E là hình chữ nhật.

Do đó: A₁E = A₂B₂.

Mà A₂B₂ = 6 cm nên A₁E = 6 cm.

Tam giác A₁B₁E vuông tại E nên A₁E² + B₁E² = A₁B₁² (định lí Pythagore)

Suy ra \({B_1}E = \sqrt {{A_1}{B_1}^2 - {A_1}{E^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\) (cm).

Mà B₁E = A₃B₃ (A₃B₃B₁E là hình chữ nhật)

Vậy A₃B₃ = 8 cm.