Giải SGK Toán 8 CTST Bài 4. Hình bình hành – Hình thoi có đáp án

Quan sát hình chụp các mái nhà ở phố cổ Hội An, ta thấy các cạnh đối của tứ giác ABCD vừa song song vừa bằng nhau (AB // DC, AB = DC và AD // BC, AD = BC).

Dùng thước đo góc ta xác định được ${\widehat{A}}_1=\widehat{D}$ và ${\widehat{C}}_1=\widehat{D}$.

Ta có ${\widehat{A}}_1=\widehat{D}$ và hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.

${\widehat{C}}_1=\widehat{D}$ và hai góc này ở vị trí đồng vị nên AD // BC.

• Tứ giác ABCD có AB // DC và AD // BC.

Từ AB // DC suy ra ${\widehat{A}}_1={\widehat{C}}_1$ (so le trong) và ${\widehat{B}}_1={\widehat{D}}_1$ (so le trong).

Từ AD // BC suy ra ${\widehat{A}}_2={\widehat{C}}_2$ (so le trong).

Xét DABC và DCDA có:

${\widehat{A}}_1={\widehat{C}}_1$; AC là cạnh chung; ${\widehat{A}}_2={\widehat{C}}_2$

Do đó DABC = DCDA (g.c.g).

• Do DABC = DCDA nên AB = CD (hai cạnh tương ứng).

Xét DOAB và DOCD có:

${\widehat{A}}_1={\widehat{C}}_1$; AB = CD; ${\widehat{B}}_1={\widehat{D}}_1$ (chứng minh trên)

Do đó DOAB = DOCD (g.c.g).

Trong hình bình hành PQRS với I là giao điểm của hai đường chéo, ta có:

• Các đoạn thẳng bằng nhau: PQ = RS; PS = QR; IP = IR; IS = IQ.

• Các góc bằng nhau: $\widehat{PQR}=\widehat{PSR};$ $\widehat{SPQ}=\widehat{SRQ};$ $\widehat{RSQ}=\widehat{SQP};$ $\widehat{PSQ}=\widehat{SQR};$  $\widehat{PRQ}=\widehat{RPS};$ $\widehat{SIR}=\widehat{PIQ};$ $\widehat{SIP}=\widehat{QIR};$ $\widehat{SIQ}=\widehat{PIR}$.

Giả sử mắt lưới của lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác ABCD có các cạnh đối song song và độ dài hai cạnh là 4 cm, 5 cm.

Tứ giác ABCD có các cạnh đối song song nên là hình bình hành. Giả sử AB = 4 cm, AD = 5 cm.

Do đó CD = AB = 4 cm; BC = AD = 5 cm.

EFGH là hình bình hành nên ta có:

• HG = EF = 40 m;

• M là trung điểm của EG nên EG = 2EM = 2.36 = 72 (m);

• M là trung điểm của FH nên FH = 2MH = 2.16 = 32 (m).

Vậy HG = 40 m và độ dài hai đường chéo lần lượt là EG = 72 m, FH = 32 m.

• Hình 7a):

Xét DABC và DCDA có:

AB = CD; BC = DA; AC là cạnh chung

Do đó DABC = DCDA (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ và $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$ (các cặp góc tương ứng).

Vì $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Vì $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

• Hình 7b):

Ta có $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Xét DABC và DCDA có:

AC là cạnh chung; $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$; AB = CD

Do đó DABC = DCDA (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

• Hình 7c):

Ta có: $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Xét DABC và DCDA có:

AC là cạnh chung; $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$; BC = AD

Do đó DABC = DCDA (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

• Hình 7d):

Xét tứ giác ABCD ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Mà $\widehat{A}=\widehat{C},\widehat{B}=\widehat{D}$ nên ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{A}+\widehat{B}=360°$

Suy ra $\widehat{A}+\widehat{B}=\frac{360°}{2}=180°$ và $\widehat{A}+\widehat{D}=180°$

Do đó AD // BC và AB // CD.

• Hình 7e):

Xét DPAB và DPCD có:

PA = PC; $\widehat{APB}=\widehat{CPD}$ (đối đỉnh); PB = PD

Do đó DPAB = DPCD (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BAP}=\widehat{DCP}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Tương tự ta cũng chứng minh được DPAD = DPCB (c.g.c)

Suy ra $\widehat{DAP}=\widehat{BCP}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{DAC}=\widehat{BCA}$, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

• Hình 9a): Tứ giác ABCD có các cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành.

• Hình 9b): Tứ giác EFGH có các góc đối bằng nhau nên là hình bình hành.

• Hình 9c): Tứ giác IJKL có các cạnh đối song song nên là hình bình hành.

• Hình 9d): Tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

• Hình 9e): Tứ giác RSTU có hai góc đối không bằng nhau nên không là hình bình hành.

• Hình 9g): Tứ giác VXYZ có hai cạnh đối VZ và XY vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành.

Vậy trong các tứ giác ở Hình 9, tứ giác RSTU không là hình bình hành.