Đáp án B

Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA

Vì M là trung điểm  BC(gt) $\Rightarrow MA=MB$ (tính chất trung điểm)

Xét $\Delta MAB$ và $\Delta MNC$ có:

$\begin{array}{l}MB=MC\left(cmt\right)\\ AM=MN\left(gt\right)\end{array}$

$\widehat{AMB}=\widehat{NMC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta MAB=\Delta MNC(c-g-c)\Rightarrow NC=AB$ (1) (2 cạnh tương ứng)

Xét $\Delta ACN$ có: $AN<AC+CN$ (2) (bất đẳng thức tam giác)

Từ (1) (2) $\Rightarrow AN<AC+AB$

Mặt khác, $AN=2AM\left(gt\right)\Rightarrow 2AM<AB+AC$

Đáp án C

Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AB

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta AKE$ có:

AE chung

$AB=AK$ (cách dựng)

$\widehat{BAE}=\widehat{KAE}$ (vì AD là tia phân giác $\widehat{BAC}$)

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta AKE(c.g.c)$

$\Rightarrow EB=EK$ (hai cạnh tương ứng)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta CEK$ ta có: $EC-EK<KC$ mà $EB=EK$ (cmt) suy ra $EC-EB<KC$ (1)

Mặt khác $KC=AC-AK=AC-AB$ (vì AB = AK theo cách dựng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $EC-EB<AC-AB$

Đáp án A

Gọi giao điểm của AO và BC là D. Do O nằm trong $\Delta ABC$ nên D nằm giữa B và C $\Rightarrow BC=BD+DC(*)$

Xét $\Delta ABD$ có: $AD<AB+BD$ (bất đẳng thức tam giác)

Xét $\Delta OCD$ có: $OC<OD+DC\left(2\right)$ (bất đẳng thức tam giác)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

$\begin{array}{l}OA+OD+OC<AB+BD+OD+DC\\ \Rightarrow OA+OC<AB+BD+DC(**)\end{array}$

Từ (*) và (**) ta có $OA+OC<AB+BC$

Đáp án B

Gọi I là giao điểm của BM và AC

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta IMC$ ta có: $MC<MI+IC$   (1)

Cộng MB vào hai vế (1) ta được:

$\begin{array}{l}MC+MB<MI+IC+MB\\ \Rightarrow MC+MB<MI+MB+IC\\ \Rightarrow MC+MB<IB+IC\left(2\right)\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta IBA$ ta có: $IB<IA+AB$   (3)

Cộng IC vào hai vế (3) ta được

$\begin{array}{l}IB+IC<IA+AB+IC\\ \Rightarrow IB+IC<IA+IC+AB\\ \Rightarrow IB+IC<AB+AC\left(4\right)\end{array}$

Từ (2) và (4) suy ra $MB+MC<AB+AC$

Đáp án A

$\Delta ABC$ cân tại A

Trường hợp 1: $AB=AC=5cm\Rightarrow BC=17-5-5=7cm$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}AB+AC=5+5=10>BC=7cm\\ AB+BC=5+7=12>AC=5cm\\ BC+AC=7+5=12>AB=5cm\end{array}\right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Trường hợp 2: $BC=5cm\Rightarrow AB=AC=(17-5):2=6cm$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}AB+AC=6+6=12>BC=5cm\\ AB+BC=5+6=11>AC=6cm\\ BC+AC=6+5=11>AB=6cm\end{array}\right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Vậy nếu $\Delta ABC$ cân tại A có: $\left[\begin{array}{l}AB=AC=5cm\Rightarrow BC=7cm\\ BC=5cm\Rightarrow AB=AC=5cm\end{array}\right.$

Vậy $BC=7cm$ hoặc $BC=5cm$