Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(−1;2);B(3;4) và đường thẳng \[{\rm{\Delta }}:\,\,x - 2y - 2 = 0\]. Tìm điểm \[M \in \Delta \] sao cho \[2A{M^2} + M{B^2}\] có giá trị nhỏ nhất.

Gọi điểm I(a;b) thỏa mãn

\[2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\left( { - 1 - a;\;2 - b} \right) + \left( {3 - a;\;4 - b} \right) = \vec 0\]

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2( - 1 - a) + 3 - a = 0}\\{2(2 - b) + 4 - b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3a + 1 = 0}\\{ - 3b + 8 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{3}}\\{b = \frac{8}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{1}{3},\frac{8}{3}} \right)\)

Ta có: \[2A{M^2} + M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IA} } \right)^2}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ = 2\left( {I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IA} + I{A^2}} \right) + I{B^2} - 2\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IM} + I{M^2}}\\{ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right)}\\{ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2}}\end{array}\]

\[2I{A^2} + I{B^2}\]không thay đổi nên \[2A{M^2} + M{B^2}\]nhỏ nhất khi IM  nhỏ nhất

⇔ là hình chiếu vuông góc của I  lên \[\Delta \]

 \[\Delta \] có VTPT là\[\vec n = \left( {1; - 2} \right)\]

Gọi d  là đường thẳng đi qua I  vuông góc với \[{\rm{\Delta }}\]

⇒ d  nhận\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\;1} \right)\] àm VTPT

⇒Phương trình tổng quát của d  là:

\[2\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + \left( {y - \frac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{10}}{3} = 0\]

M  là giao điểm của d và \[\Delta \Rightarrow \] tọa độ điểm M  là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y - \frac{{10}}{3} = 0}\\{x - 2y - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{26}}{{15}}}\\{y = - \frac{2}{{15}}}\end{array}} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{26}}{{15}}, - \frac{2}{{15}}} \right)\)

Vậy \[M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.