Cho hai phương trình: \[{x^2} - 2mx + 1 = 0\;\] và \[{x^2} - 2x + m = 0\]. Gọi S là tập hợp các giá trị của m để mỗi nghiệm của phương trình này là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tổng các phần tử của S gần nhất với số nào dưới đây?

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta >0}\\{S < 0}\\{P >0}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình \[\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0\]có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne 0}\\{\Delta >0}\\{P >0}\\{S >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{4{{(m + 1)}^2} - 4(m - 1)(m + 4) >0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}\\{\frac{{m + 4}}{{m - 1}} >0\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}\\{\frac{{m + 1}}{{m - 1}} >0\,\,\,\,\,\,\,\,(4)}\end{array}} \right.\)

Giải (1):\[m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\]

Giải (2):

\[4{(m + 1)^2} - 4(m - 1)(m + 4) >0\]

\[ \Leftrightarrow (4{m^2} + 8m + 4) - (4m - 4)(m + 4) >0\]

\[ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 - 4{m^2} - 16m + 4m + 16 >0\]

\[ \Leftrightarrow - 4m + 20 >0\]

\[ \Leftrightarrow m < 5\]

Giải (3):

\(\frac{{m + 4}}{{m - 1}} >0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 4 >0}\\{m - 1 >0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 4 >0}\\{m - 1 < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >- 4}\\{m >1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < - 4}\\{m < 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >1}\\{m < - 4}\end{array}} \right.\)

Giải (4):

\(\frac{{m + 1}}{{m - 1}} >0\, \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1 >0}\\{m - 1 >0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1 < 0}\\{m - 1 < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >- 1}\\{m >1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < - 1}\\{m < 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >1}\\{m < - 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Kết hợp cả 4 điều kiện ta được m < −4 hoặc 1 < m < 5.

Đáp án cần chọn là: A

</></></></></></></></>