Câu hỏi:
23/05/2022 156Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} - 3x = {y^3} - 3y}\\{{x^6} + {y^6} = 27}\end{array}} \right.\)có bao nhiêu nghiệm ?
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có :
\[{x^3} - 3x = {y^3} - 3y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 3\left( {x - y} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = y}\\{{x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0}\end{array}} \right.\]
Khi x = y thì\[{x^6} + {x^6} = 27 \Leftrightarrow {x^6} = \frac{{27}}{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}}{2}}}\]
Do đó hệ có nghiệm \[\left( { \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}}{2}}}; \pm \sqrt[6]{{\frac{{27}}{2}}}} \right)\]
Khi\[{x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 3 - xy\] ta có \[{x^6} + {y^6} = 27\]\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^4} - {x^2}{y^2} + {y^4}} \right) = 27 \Rightarrow \left( {3 - xy} \right)\left[ {{{\left( {3 - xy} \right)}^2} - 3{x^2}{y^2}} \right] = 27\]
\[ \Leftrightarrow (3 - xy)(9 - 6xy + {x^2}{y^2} - 3{x^2}{y^2}) = 27\]
\[ \Leftrightarrow 27 - 9xy - 18xy + 6{x^2}{y^2} + 3{x^2}{y^2} - {x^3}{y^3} - 9{x^2}{y^2} + 3{x^3}{y^3} = 27\]
\[ \Leftrightarrow 2{x^3}{y^3} - 27xy = 0\]
\[ \Leftrightarrow xy(2{x^2}{y^2} - 27) = 0\]
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\\{{x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2}}\end{array}} \right.\)
+) Nếu x = 0 thì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = {y^3} - 3y}\\{{y^6} = 27}\end{array} \Leftrightarrow {y^2} = 3 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt 3 } \right.\) nên phương trình có hai nghiệm \[\left( {0; \pm \sqrt 3 } \right)\]
+) Nếu y = 0 thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} - 3x = 0}\\{{x^6} = 27}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \) nên phương trình có hai nghiệm\[\left( { \pm \sqrt 3 ;0} \right)\]
+) Nếu\({x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}}\\{xy = - \frac{{3\sqrt 6 }}{2}}\end{array}} \right.\)
TH1:\[xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\] thì:
\[{x^2} + {y^2} = 3 - xy = 3 - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0\] nên ph vô nghiệm.
TH2: \[xy = - \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\] thì:
\[{x^2} + {y^2} = 3 - xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]
\[ \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 2xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]
\[ \Leftrightarrow {(x + y)^2} + 2.\frac{{3\sqrt 6 }}{2} = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\]
\[ \Leftrightarrow {(x + y)^2} = 3 - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0\]
Nên phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm phân biệt.
Đáp án cần chọn là: A
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Gọi (x0;y0) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{x} - \frac{6}{y} = 6}\\{\frac{2}{x} - \frac{1}{y} = - 2}\end{array}} \right.\)
Tìm \[{x_0} + {\rm{ }}{y_0}\]
Xem đáp án »
23/05/2022
2,946
Câu 2:
Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 4}\\{{x^2} + {y^2} = {m^2}}\end{array}} \right.\) . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Xem đáp án »
23/05/2022
1,148
Câu 3:
Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + y = 6}\\{{y^2} + x = 6}\end{array}} \right.\)có bao nhiêu nghiệm ?
Xem đáp án »
23/05/2022
986
Câu 4:
Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 1}\\{y = x + m}\end{array}} \right.\) có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi :
Xem đáp án »
23/05/2022
580
Câu 5:
Nếu (x;y) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 4xy + {y^2} = 1}\\{y - 4xy = 2}\end{array}} \right.\) thì xy bằng bao nhiêu ?
Xem đáp án »
23/05/2022
535
Câu 6:
Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \sqrt {y - 1} = 1}\\{2y + \sqrt {x - 1} = 1}\end{array}} \right.\) có bao nhiêu nghiệm (x;y) ?
Xem đáp án »
23/05/2022
444
Câu 7:
Hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x - 1} \right| + y = 0}\\{2x - y = 5}\end{array}} \right.\) có nghiệm là ?
Xem đáp án »
23/05/2022
396
về câu hỏi!