Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2xy + 8x = 3{y^2} + 12y + 9}\\{{x^2} + 4y + 18 - 6\sqrt {x + 7} - 2x\sqrt {3y + 1} = 0}\end{array}} \right.\)có nghiệm là (a;b). Khi đó giá trị biểu thức \[T = 5{a^2} + 4{b^2}\]

Điều kiện\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 7}\\{y \ge - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2xy + 8x = 3{y^2} + 12y + 9\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{{x^2} + 4y + 18 - 6\sqrt {x + 7} - 2x\sqrt {3y + 1} = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Có:\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {y + 4} \right)x - 3{y^2} - 12y - 9 = 0\] ta coi (1) là phương trình bậc hai ẩn x và y là tham số, giải x theo y ta được\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3y - 9}\\{x = y + 1}\end{array}} \right.\)

Với x = −3y – 9 thì (∗)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3y - 9 \ge - 7}\\{y \ge - \frac{1}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \le - \frac{2}{3}}\\{y \ge - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\)

Với \[x = y + 1 \Leftrightarrow y = x - 1\] thì

\[\left( 2 \right) \Rightarrow {x^2} + 4x - 6\sqrt {x + 7} - 2x\sqrt {3x - 2} + 14 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x\sqrt {3x - 2} + 3x - 2} \right) + \left( {x + 7 - 6\sqrt {x + 7} + 9} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {3x - 2} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {x + 7} - 3} \right)^2} = 0\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt {3x - 2} }\\{\sqrt {x + 7} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 2\)  (thỏa mãn) ⇒y = 1 (thỏa mãn)

Hệ phương trình có nghiệm là \[\left( {2;\,1} \right) \Rightarrow a = 2,b = 1 \Rightarrow T = 24\]

Đáp án cần chọn là: A