Cho hàm số \[f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} \]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.Giới hạn của f(x) khi \[x \to + \infty \] là 0.
B.Giới hạn của f(x khi \[x \to - \infty \]là 2.
C.Giới hạn của f(x) khi \[x \to + \infty \]là −2.
D.\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\[f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} \]
Ta có:
\[\mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\]
\[ = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}\]
\[ = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{{({x^2} + 2x + 4) - ({x^2} - 2x + 4)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\]
\[\begin{array}{l} = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} + \sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} }} = 2\end{array}\]
\[\begin{array}{l}\mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{{({x^2} + 2x + 4) - ({x^2} - 2x + 4)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{{4x}}{x}}}{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} }}{x} + \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}{x}}}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{{\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} + \sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{4}{{ - 1 - 1}} = - 2\end{array}\]
\[ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\]
Đáp án cần chọn là: D
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
\[\begin{array}{*{20}{l}}{L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt {f\left( x \right) + 2} - f\left( x \right)}}{{f\left( x \right) - 2}}}\\{\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) + 2 - {f^2}\left( x \right)}}{{f\left( x \right) - 2}}.\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + 2} + f\left( x \right)}}}\\{\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left[ {f\left( x \right) + 1} \right]\left[ {f\left( x \right) - 2} \right]}}{{f\left( x \right) - 2}}.\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + 2} + f\left( x \right)}}}\\{\,\,\,\,\, = - \frac{3}{4}}\end{array}\]
Câu 2
A.−1
B.0
C.\(\frac{1}{2}\)
D.1
Lời giải
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right)\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{(\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1)(\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}}\]
\[\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {{(x - 1)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{{2x}}{x}}}{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1 + \frac{1}{x}}}\\ = \frac{2}{{ - 1 - 1 + 0}} = - 1\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 3
A.\[ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
B. \[\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \( - \frac{1}{2}\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\[ - \sqrt {\frac{3}{2}.} \]
B. \[\sqrt {\frac{3}{2}} .\]
C. \[\frac{3}{2}.\]
D. \[ - \frac{3}{2}.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.5
B.7
C.9
D.6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo