Một thầy giáo có 20 quyển sách khác nhau gồm 7 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lí và 8 quyển sách Hóa. Thầy chọn ra 9 quyển sách để tặng cho học sinh. Hỏi thầy giáo đó có bao nhiêu cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy có đủ 3 môn?

Bước 1: Số cách chọn ra 9 quyển sách bất kì

Số cách chọn ra 9 quyển sách bất kì có \[C_{20}^9 = 167960\].

Bước 2: Tìm số cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy không có đủ 3 môn

Ta tìm số cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy không có đủ 3 môn.

Vì số sách còn lại của thầy không đủ ba môn nên thầy đã tặng hết ít nhất một môn.

TH1: Tặng 7 quyển sách Toán + 2 quyển sách khác sách Toán: có \[C_7^7.C_{13}^2 = 78\] cách

TH2: Tặng 5 quyển sách Lí + 4 quyển sách khác sách Lí: có \[C_5^5.C_{15}^4 = 1365\] cách.

TH3: Tặng 8 quyển sách Hóa + 1 quyển sách khác sách Hóa: có \[C_8^8.C_{12}^1 = 12\] cách.

⇒ số cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy không có đủ 3 môn là: \[78 + 1365 + 12 = 1455\] cách.

Bước 3: Lấy phần bù

Vậy số cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy có đủ 3 môn là: \[167960 - 1455 = 166505\] cách.