Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, tam giác SBD  cân tại S. Gọi M là điểm tùy ý trên AO. Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với SA,BD  cắt SO,SB,AB tại N,P,Q. Tứ giác MNPQ  là hình gì?

Tam giác SBD cân tại S  nên SB=SD .

Suy ra \[{\rm{\Delta }}SBC = {\rm{\Delta }}SDC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \widehat {SCB} = \widehat {SCD}\]

Gọi II  là trung điểm của SCSC .

Xét hai tam giác IBC và ICD  có:

IC chung

BC=DC (ABCD là hình vuông)

\[\widehat {ICB} = \widehat {ICD}\,\left( {cmt} \right)\]

Do đó \[{\rm{\Delta }}IBC = {\rm{\Delta }}IDC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow IB = ID\] hay tam giác ICD  cân tại I .

Do O  là trung điểm của BD  nên IO  là đường trung tuyến trong tam giác cân

\[ \Rightarrow IO \bot BD.\]

Mà SA//IO nên\[SA \bot BD.\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (\alpha ) \cap (ABCD)}\\{BD\parallel (\alpha }\\{BD \subset (ABCD)}\end{array}} \right.\)

Suy ra giao tuyến của (α) với (ABCD)  là đường thẳng qua M  và song song với BD  cắt AB  tại \[Q \Rightarrow MQ\parallel BD.\,\,\left( 1 \right)\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Q \in (\alpha ) \cap (SAB)}\\{SA\parallel (\alpha )}\\{SA \subset (SAB)}\end{array}} \right.\) suy ra giao tuyến của (α)với (SAB)  là đường thẳng đi qua Q  và song song với SA  cắt SB tại P . Do đó \[QP//SA\,\,\,\,(2)\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{P \in (\alpha ) \cap (SBD)}\\{BD\parallel (\alpha )}\\{BD \subset (SBD)}\end{array}} \right.\) suy ra giao tuyến của (α)với (SBD)  là đường thẳng đi qua P và song song với BD  cắt SO  tại N . Do đó PN//BD (3).

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(\alpha ) \cap (SAC) = MN}\\{SA\parallel (\alpha )}\\{SA \subset (SAC)}\end{array}} \right. \Rightarrow MN\parallel SA\)(4)

Từ (1) và (3) suy ra \[PN//MQ//BD\], từ (2) và (4) suy ra \[QP//MN//SA\]. Do đó MNPQ là hình bình hành.

Lại có \[SA \bot BD \Rightarrow MN \bot MQ\].

Vậy MNPQ  là hình chữ nhật.

Đáp án cần chọn là: C