Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA=AB=a và AD=x.a. Gọi E là trung điểm của SC. Tìm x, biết khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SBD) bằng \(h = \frac{a}{3}\).

Ta có\[E \in SC\]

\[EC \cap \left( {SBD} \right) = S \Rightarrow \frac{{d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{ES}}{{CS}} = \frac{1}{2}\]

Từ A kẻ\[AK \bot BD\left( {K \in BD} \right)\] kẻ\[AH \bot SK\,\,\left( {H \in SK} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \bot AK}\\{BD \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot (SAK) \Rightarrow BD \bot AH(2)\)

Từ (1) và (2)\[ \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right).\]

\[ \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = 2.d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2a}}{3}.\]

Mà \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} - A{H^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\]

Tam giác ABD vuông tại A, có đường cao AK.

\( \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}{x^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{{x^2} = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow x = 2\)

Đáp án cần chọn là: C