Câu hỏi:
13/07/2024 1,250Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Gọi M là trung điểm SD, hãy tính theo aa khoảng cách dd từ M đến mặt phẳng (SAC).
Câu hỏi trong đề:
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Bước 1: Đổi \[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right)\] sang \[d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\]
Gọi H là trung điểm AB. Vì \[\Delta SAB\] cân tại S nên\[SH \bot AB\]
Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(SAB) \cap (ABCD) = AB}\\{SH \subset (ABCD),SH \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Gọi \[K = HD \cap AC\] Áp dụng định lí Ta-let ta có\[\frac{{DK}}{{HK}} = \frac{{DC}}{{AH}} = 2 \Rightarrow DK = 2HK\]
Ta có \[MD \cap \left( {SAC} \right) = S \Rightarrow \frac{{d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{1}{2}\]
\[ \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)\]
Lại có\[DH \cap \left( {SAC} \right) = K\] nên\[\frac{{d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac{{DK}}{{HK}} = 2 \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\]
Bước 2: Trong (ABCD) kẻ \[HE \bot AC\,\,\left( {E \in AC} \right)\] trong (SHE) kẻ\[HN \bot SE\,\,\left( {N \in SE} \right)\] chứng minh\[HN \bot \left( {SAC} \right)\]
Do đó\[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\]
Trong (ABCD) kẻ\[HE \bot AC\,\,\left( {E \in AC} \right)\], trong (SHE) kẻ\[HN \bot SE\,\,\left( {N \in SE} \right)\] ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC \bot HE}\\{AC \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot (SHE) \Rightarrow AC \bot HN\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HN \bot SE}\\{HN \bot AC}\end{array} \Rightarrow HN \bot (SAC)} \right.\)
\[ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HN\]
Bước 3: Xác định góc giữa SC và (ABCD), từ đó tính SH.
Vì \[SH \bot \left( {ABCD} \right)\] nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)
\[ \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {45^0}\]
\[ \Rightarrow {\rm{\Delta }}SHC\] vuông cân tại \[H \Rightarrow SH = HC = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} \]
\[ = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\]
Bước 4: Tính\[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right)\]
Ta có: \[{S_{HAC}} = \frac{1}{2}HE.AC = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\]
\[ \Rightarrow HE.AC = \frac{1}{2}.AB.BC\]
\[ \Rightarrow HE = \frac{{\frac{1}{2}.AB.BC}}{{AC}} = \frac{{\frac{1}{2}.a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHE ta có:
Nên\[HN = \frac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt {17} }}{2}.\frac{a}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {\frac{{17{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{5}} }} = \frac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}\]
Vậy \[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}\]
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình lập phương ABCD,A′B′C′D′ có cạnh bằng 3a. Khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABCD) bằng
Xem đáp án »
27/06/2022
5,738
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc \({30^0}\).Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc \({30^0}\).Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.
Xem đáp án »
27/06/2022
1,888
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
Xem đáp án »
27/06/2022
1,475
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)
Xem đáp án »
27/06/2022
1,464
Câu 5:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8,, cạnh bên bằng \(\sqrt 6 \) (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?
Xem đáp án »
13/07/2024
1,426
Câu 6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc \({60^ \circ }\)Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
Xem đáp án »
27/06/2022
1,347
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng \({60^ \circ }\). Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SMC).
Xem đáp án »
27/06/2022
1,294
về câu hỏi!