Câu hỏi:

13/07/2024 2,233

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Gọi M là trung điểm SD, hãy tính theo aa khoảng cách dd từ M đến mặt phẳng (SAC).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 độ. Gọi M là trung điểm  (ảnh 1)

Bước 1: Đổi \[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right)\] sang \[d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\]

Gọi H là trung điểm AB. Vì \[\Delta SAB\] cân tại S nên\[SH \bot AB\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(SAB) \cap (ABCD) = AB}\\{SH \subset (ABCD),SH \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Gọi \[K = HD \cap AC\]  Áp dụng định lí Ta-let ta có\[\frac{{DK}}{{HK}} = \frac{{DC}}{{AH}} = 2 \Rightarrow DK = 2HK\]

Ta có \[MD \cap \left( {SAC} \right) = S \Rightarrow \frac{{d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{1}{2}\]

\[ \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)\]

Lại có\[DH \cap \left( {SAC} \right) = K\] nên\[\frac{{d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac{{DK}}{{HK}} = 2 \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\]

Bước 2: Trong (ABCD) kẻ \[HE \bot AC\,\,\left( {E \in AC} \right)\] trong (SHE) kẻ\[HN \bot SE\,\,\left( {N \in SE} \right)\] chứng minh\[HN \bot \left( {SAC} \right)\]

Do đó\[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\]

Trong (ABCD) kẻ\[HE \bot AC\,\,\left( {E \in AC} \right)\],  trong (SHE) kẻ\[HN \bot SE\,\,\left( {N \in SE} \right)\] ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC \bot HE}\\{AC \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot (SHE) \Rightarrow AC \bot HN\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HN \bot SE}\\{HN \bot AC}\end{array} \Rightarrow HN \bot (SAC)} \right.\)

\[ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HN\]

Bước 3: Xác định góc giữa SC và (ABCD), từ đó tính SH.

Vì \[SH \bot \left( {ABCD} \right)\] nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

\[ \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {45^0}\]

\[ \Rightarrow {\rm{\Delta }}SHC\] vuông cân tại \[H \Rightarrow SH = HC = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} \]

\[ = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\]

Bước 4: Tính\[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right)\]

Ta có: \[{S_{HAC}} = \frac{1}{2}HE.AC = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\]

\[ \Rightarrow HE.AC = \frac{1}{2}.AB.BC\]

\[ \Rightarrow HE = \frac{{\frac{1}{2}.AB.BC}}{{AC}} = \frac{{\frac{1}{2}.a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\]

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHE ta có:

Nên\[HN = \frac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt {17} }}{2}.\frac{a}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {\frac{{17{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{5}} }} = \frac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}\]

Vậy \[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}\]

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Ta có\[A'A \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow d\left( {A',\left( {ABCD} \right)} \right) = A'A = 3a\]

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC.

Do hình chóp S.ABC đều nên suy ra \[SO \bot \left( {ABC} \right)\]

Gọi E là trung điểm BC ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{AO \cap \left( {SBC} \right) = E \Rightarrow \frac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{AE}}{{OE}} = 3}\\{ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 3.d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right).}\end{array}\]

Trong (SAE) kẻ \[OK \bot SE\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AE}\\{BC \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAE) \Rightarrow BC \bot OK(2)\)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OK\]

Tính được \[SO = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{2}{3}AE} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{21{a^2}}}{{36}} - {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\] và\[OE = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\]

Tam giác vuông SOE, có\[OK = \frac{{SO.OE}}{{\sqrt {S{O^2} + O{E^2}} }} = \frac{a}{4}\]

Vậy\[d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 3OK = \frac{{3a}}{4}\]

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng  (ảnh 1)

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP